Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função
, definida e derivável em
, tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo (por meio de um gráfico) de uma função
, definida e derivável em
, tal que
para todo
.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Precisamos de uma função
com domínio todo o conjunto dos reais, ou seja . - A função deve ser derivável em todo
(logo contínua em todo ). - Deve satisfazer a condição de positividade:
para todo .
Não há outras restrições (por exemplo, sobre ser ímpar, par, limitada, etc.). A tarefa é apresentar um exemplo e, por meio de um gráfico, mostrar como ela se comporta.
Passo 2
Vou escolher uma função simples e clássica que atende a tudo isso:
. Esta função é ótima porque:
- está definida para todo
; - é derivável em todo
; - toma apenas valores positivos.
Agora vou explicar por que cada uma dessas afirmações é verdadeira — passo a passo, como se estivéssemos preparando para desenhar o gráfico na prova.
Passo 3
Por que
está definida em
?
A função exponencial é uma função elementar cujo domínio é todo
. Em termos práticos: para qualquer número real
podemos calcular
(seja por definição via série de potências, seja pela definição via limite, seja por interpretação como crescimento contínuo). Então
.
A função exponencial
Passo 4
Por que
é derivável em
? Qual é sua derivada?
Fato conhecido (e usado frequentemente na prova): a função exponencial tem derivada igual a ela mesma. Ou seja,
Fato conhecido (e usado frequentemente na prova): a função exponencial tem derivada igual a ela mesma. Ou seja,
Isso significa que a derivada existe para todo
(portanto a função é derivável em todo
). Uma maneira intuitiva de ver isso é lembrar que a série de Taylor de
é convergente para todo
e derivando termo a termo obtemos a mesma série — mas na prática, é uma propriedade padrão que já podemos usar na prova.
Passo 5
Por que
para todo
?
Propriedade básica da exponencial: para qualquer real temos
. Intuitivamente,
nunca cruza o eixo
nem alcança zero; quando
vai para
,
; quando
,
(ou seja, aproxima-se de zero por cima). Portanto, para todo
temos
Propriedade básica da exponencial: para qualquer real
Como a derivada
também é positiva, a função é estritamente crescente — isso ajuda a entender o formato do gráfico.
Passo 6
Como desenhar o gráfico (passo a passo, para você reproduzir na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
porque . - Marque alguns pontos simples: por exemplo
e . Não precisa de valores exatos além de se não tiver calculadora — basta posicionar qualitativamente: está abaixo de e positivo; acima de . - Trace uma curva que passa por esses pontos, cresce para a direita de forma cada vez mais íngreme e se aproxima do eixo
à esquerda, sem nunca tocá-lo (isso representa a assíntota horizontal quando ). - Indique que a curva nunca cruza o eixo
: sempre . Também indique que a função é suave (sem quinas), porque é derivável em todo lugar.
Esse gráfico coloca visualmente a ideia: toda a curva está acima do eixo, definida para todo , e com derivada positiva.
Passo 7
Comentário final e variações úteis (dicas de prova):
- Outra função muito simples que atende é
. Verificação rápida: ; (derivável em todo ); e para todo , logo para todo . O gráfico de é uma parábola com mínimo em . Essa alternativa é às vezes mais direta se você quiser um exemplo polinomial. - Técnicas úteis na prova: para mostrar positividade muitas vezes bastam argumentos de mínimo (encontrar o ponto de mínimo e avaliar) ou usar propriedades conhecidas (como
). Para a parte "derivável em ", mostre que a derivada existe em qualquer ponto (ou use resultados conhecidos sobre funções elementares). - Fica o encorajamento: escolher
ou resolve fácil a questão e você pode desenhar o gráfico rápido no caderno sem precisar de cálculo pesado.