Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e derivável em \mathbb{R}, tal que f(x)>0 para todo x.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e derivável em \mathbb{R}, tal que f(x)>0 para todo x.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Precisamos de uma função f com domínio todo o conjunto dos reais, ou seja \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}.
  • A função deve ser derivável em todo \mathbb{R} (logo contínua em todo \mathbb{R}).
  • Deve satisfazer a condição de positividade: f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
    Não há outras restrições (por exemplo, sobre ser ímpar, par, limitada, etc.). A tarefa é apresentar um exemplo e, por meio de um gráfico, mostrar como ela se comporta.

Passo 2

Vou escolher uma função simples e clássica que atende a tudo isso: \,f(x)=e^{x}\,. Esta função é ótima porque:
  • está definida para todo x\in\mathbb{R};
  • é derivável em todo \mathbb{R};
  • toma apenas valores positivos.
    Agora vou explicar por que cada uma dessas afirmações é verdadeira — passo a passo, como se estivéssemos preparando para desenhar o gráfico na prova.

Passo 3

Por que \,f(x)=e^{x}\, está definida em \mathbb{R}?
A função exponencial \exp(x)=e^{x} é uma função elementar cujo domínio é todo \mathbb{R}. Em termos práticos: para qualquer número real x podemos calcular e^{x} (seja por definição via série de potências, seja pela definição via limite, seja por interpretação como crescimento contínuo). Então \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Por que \,f(x)=e^{x}\, é derivável em \mathbb{R}? Qual é sua derivada?
Fato conhecido (e usado frequentemente na prova): a função exponencial tem derivada igual a ela mesma. Ou seja,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isso significa que a derivada existe para todo x\in\mathbb{R} (portanto a função é derivável em todo \mathbb{R}). Uma maneira intuitiva de ver isso é lembrar que a série de Taylor de e^{x} é convergente para todo x e derivando termo a termo obtemos a mesma série — mas na prática, é uma propriedade padrão que já podemos usar na prova.

Passo 5

Por que \,f(x)=e^{x}>0 para todo x?
Propriedade básica da exponencial: para qualquer real x temos e^{x}>0. Intuitivamente, e^{x} nunca cruza o eixo x nem alcança zero; quando x vai para +\infty, e^{x}\to+\infty; quando x\to-\infty, e^{x}\to 0^{+} (ou seja, aproxima-se de zero por cima). Portanto, para todo x temos
f(x)=e^{x}>0.
Como a derivada f'(x)=e^{x} também é positiva, a função é estritamente crescente — isso ajuda a entender o formato do gráfico.

Passo 6

Como desenhar o gráfico (passo a passo, para você reproduzir na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,1) porque f(0)=e^{0}=1.
  3. Marque alguns pontos simples: por exemplo (-1,e^{-1}\approx0{,}37) e (1,e^{1}\approx2{,}718). Não precisa de valores exatos além de e se não tiver calculadora — basta posicionar qualitativamente: (-1,0{,}37) está abaixo de 1 e positivo; (1,2{,}7) acima de 1.
  4. Trace uma curva que passa por esses pontos, cresce para a direita de forma cada vez mais íngreme e se aproxima do eixo x à esquerda, sem nunca tocá-lo (isso representa a assíntota horizontal y=0 quando x\to -\infty).
  5. Indique que a curva nunca cruza o eixo x: sempre y>0. Também indique que a função é suave (sem quinas), porque é derivável em todo lugar.
    Esse gráfico coloca visualmente a ideia: toda a curva está acima do eixo x, definida para todo x, e com derivada positiva.

Passo 7

Comentário final e variações úteis (dicas de prova):
  • Outra função muito simples que atende é \,g(x)=x^{2}+1. Verificação rápida: \mathrm{dom}(g)=\mathbb{R}; g'(x)=2x (derivável em todo \mathbb{R}); e g(x)\ge 1 para todo x, logo g(x)>0 para todo x. O gráfico de g é uma parábola com mínimo em (0,1). Essa alternativa é às vezes mais direta se você quiser um exemplo polinomial.
  • Técnicas úteis na prova: para mostrar positividade muitas vezes bastam argumentos de mínimo (encontrar o ponto de mínimo e avaliar) ou usar propriedades conhecidas (como e^{x}>0). Para a parte "derivável em \mathbb{R}", mostre que a derivada existe em qualquer ponto (ou use resultados conhecidos sobre funções elementares).
  • Fica o encorajamento: escolher \,f(x)=e^{x}\, ou \,f(x)=x^{2}+1 resolve fácil a questão e você pode desenhar o gráfico rápido no caderno sem precisar de cálculo pesado.

Resposta

f(x)=e^{x}

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