Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f, definida e derivável em \mathbb{R}, tal que f(x)>0 para x<0, f(x)<0 para 0<x<2 e f(x)>0 para x>2.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo — apresentado por meio de um gráfico — de uma função f que seja definida e derivável em \mathbb{R} e que satisfaça as três condições de sinal:
f(x)>0 \text{ para } x<0,\qquad f(x)<0 \text{ para } 0<x<2,\qquad f(x)>0 \text{ para } x>2.
Informações relevantes dadas: precisamos de uma função em toda a reta (domínio \mathbb{R}), derivável em toda a reta, e com mudança de sinal somente nas vizinhanças dos pontos x=0 e x=2 conforme indicado.

Passo 2

Vou propor uma função simples e fácil de entender que é um polinômio de segundo grau. Defina
f(x)=x(x-2).
Polinômios são funções definidas para todo x\in\mathbb{R} e são diferenciáveis em todos os pontos, então essa escolha já resolve a condição de domínio e diferenciabilidade.

Passo 3

Explico por que essa função tem os sinais pedidos, usando a ideia básica: o sinal de um produto é determinado pelos sinais dos fatores.
Escrevemos f(x)=x(x-2). Agora avalio o sinal dos fatores em cada intervalo pedido:
  • Para x<0: o fator x é negativo e o fator x-2 também é negativo (porque x-2<0-2<0). Produto de dois negativos é positivo, logo f(x)>0.
  • Para 0<x<2: o fator x é positivo e x-2 é negativo. Produto positivo × negativo é negativo, logo f(x)<0.
  • Para x>2: ambos os fatores x e x-2 são positivos, produto positivo, logo f(x)>0.
Isso mostra exatamente o padrão de sinais que o enunciado exige.

Passo 4

Verificação algébrica e propriedades para a prova:
Expansão do polinômio:
f(x)=x(x-2)=x^2-2x.
Derivada (mostrando diferenciabilidade explícita):
f'(x)=2x-2.
Como f é polinomial, f' existe para todo x\in\mathbb{R}, confirmando que f é derivável em \mathbb{R}. Além disso, f'(x)=0 em x=1, que é o vértice da parábola.

Passo 5

Análise geométrica (ajuda a desenhar o gráfico):
  • Raízes (zeros) da função: x=0 e x=2. São exatamente os pontos onde a função muda de sinal.
  • Vértice: como f'(x)=2x-2, a derivada nula em x=1. Avaliando f em x=1:
f(1)=1(1-2)=-1.
Portanto o vértice é (1,-1) — é um mínimo (parábola abre para cima, coeficiente de x^2 positivo).
  • Comportamento nas extremidades: como coeficiente de x^2 é positivo, f(x)\to +\infty quando x\to\pm\infty.
Com isso você consegue desenhar o gráfico: uma parábola que corta o eixo x em 0 e 2, atinge o mínimo -1 em x=1, está acima do eixo x para x<0 e para x>2, e abaixo do eixo entre 0 e 2.

Passo 6

Resumo didático (como fazer rápido na prova):
  • Para obter o padrão de sinais desejado, escolha fatores lineares cujas raízes sejam os pontos de mudança de sinal: aqui as raízes são 0 e 2.
  • Use um polinômio simples como f(x)=x(x-2). Verifique sinais fazendo análise dos fatores em cada intervalo.
  • Verifique diferenciabilidade: polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{R}.
  • Para desenhar o gráfico, use as raízes e o vértice calculado por f'(x)=0.

Resposta

f(x)=x(x-2)

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