Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função
, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo — apresentado por meio de um gráfico — de uma função
que seja definida e derivável em
e que satisfaça as três condições de sinal:
Informações relevantes dadas: precisamos de uma função em toda a reta (domínio
), derivável em toda a reta, e com mudança de sinal somente nas vizinhanças dos pontos
e
conforme indicado.
Passo 2
Vou propor uma função simples e fácil de entender que é um polinômio de segundo grau. Defina
Polinômios são funções definidas para todo
e são diferenciáveis em todos os pontos, então essa escolha já resolve a condição de domínio e diferenciabilidade.
Passo 3
Explico por que essa função tem os sinais pedidos, usando a ideia básica: o sinal de um produto é determinado pelos sinais dos fatores.
Escrevemos . Agora avalio o sinal dos fatores em cada intervalo pedido:
Escrevemos
- Para
: o fator é negativo e o fator também é negativo (porque ). Produto de dois negativos é positivo, logo . - Para
: o fator é positivo e é negativo. Produto positivo × negativo é negativo, logo . - Para
: ambos os fatores e são positivos, produto positivo, logo .
Isso mostra exatamente o padrão de sinais que o enunciado exige.
Passo 4
Verificação algébrica e propriedades para a prova:
Expansão do polinômio:
Expansão do polinômio:
Derivada (mostrando diferenciabilidade explícita):
Como
é polinomial,
existe para todo
, confirmando que
é derivável em
. Além disso,
em
, que é o vértice da parábola.
Passo 5
Análise geométrica (ajuda a desenhar o gráfico):
- Raízes (zeros) da função:
e . São exatamente os pontos onde a função muda de sinal. - Vértice: como
, a derivada nula em . Avaliando em :
Portanto o vértice é
— é um mínimo (parábola abre para cima, coeficiente de
positivo).
- Comportamento nas extremidades: como coeficiente de
é positivo, quando .
Com isso você consegue desenhar o gráfico: uma parábola que corta o eixo
em
e
, atinge o mínimo
em
, está acima do eixo
para
e para
, e abaixo do eixo entre
e
.
Passo 6
Resumo didático (como fazer rápido na prova):
- Para obter o padrão de sinais desejado, escolha fatores lineares cujas raízes sejam os pontos de mudança de sinal: aqui as raízes são
e . - Use um polinômio simples como
. Verifique sinais fazendo análise dos fatores em cada intervalo. - Verifique diferenciabilidade: polinômios são diferenciáveis em todo
. - Para desenhar o gráfico, use as raízes e o vértice calculado por
.