Calcule f(x) :
f^{\prime}(x)=x \cos (x), f(0)=1

Passo 1

O enunciado pede uma função f(x) cuja derivada satisfaz
f'(x)=x\cos x
e que passa pelo ponto f(0)=1. Vamos resolver integrando a equação diferencial e usando a condição inicial.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x para obter a forma geral de f(x):
f(x)=\int x\cos x\,dx + C.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int x\cos x\,dx, aplicamos integração por partes, escolhendo
u = x,\quad dv = \cos x\,dx
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du = dx,\quad v = \sin x.
Assim,
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 4

Substituindo na expressão geral, temos
f(x) = x\sin x + \cos x + C.
Usamos f(0)=1:
f(0)=0\cdot\sin0 + \cos0 + C = 1 + C = 1 \quad\longrightarrow\quad C=0.

Resposta

f(x)=x\sin x + \cos x.

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