Calcule f(x) :
f^{\prime}(x)=\frac{[\ln (x)]^{2}}{x}+1, f(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a função f(x) sabendo que
f'(x)=\frac{[\ln(x)]^{2}}{x}+1
e que f(1)=0. O conteúdo envolve achar uma primitiva (integral) de f'(x) e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para obter f(x), integramos f'(x). Separamos as integrais:
f(x)=\int f'(x)\,dx =\int \frac{[\ln(x)]^{2}}{x}\,dx +\int 1\,dx + C.
Na primeira integral fazemos a substituição t=\ln(x), de modo que dt=\frac{dx}{x}. Assim,
\int \frac{[\ln(x)]^{2}}{x}\,dx =\int t^{2}\,dt =\frac{t^{3}}{3} =\frac{[\ln(x)]^{3}}{3}.
Portanto,
f(x)=\frac{[\ln(x)]^{3}}{3}+x+C.

Passo 3

Usamos a condição f(1)=0. Como \ln(1)=0, temos
f(1)=\frac{0^{3}}{3}+1+C=1+C=0 \quad\implies\quad C=-1.

Resposta

f(x)=\frac{[\ln(x)]^{3}}{3}+x-1.

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