Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx
Este tipo de integral é clássico e podemos resolver de duas maneiras: reconhecendo que a derivada de \operatorname{arcsinh}(x) é 1/\sqrt{x^2+1} ou usando a substituição hiperbólica x=\operatorname{sinh}(u). Aqui usaremos a segunda para ilustrar o método de substituição.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = \operatorname{sinh}(u),
sabemos da identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2(u)-\operatorname{sinh}^2(u)=1 que
\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\operatorname{sinh}^2(u)+1} = \operatorname{cosh}(u).
Além disso,
dx = \operatorname{cosh}(u)\,du.

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int \frac{1}{\operatorname{cosh}(u)}\;\bigl(\operatorname{cosh}(u)\,du\bigr) = \int du.

Passo 4

A integral de 1 em relação a u é trivial:
\int du = u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Como u=\operatorname{arcsinh}(x), concluímos
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = u + C = \operatorname{arcsinh}(x) + C.
É comum expressar \operatorname{arcsinh}(x) em termos de logaritmo:
\operatorname{arcsinh}(x) = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr).

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr) + C.

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