Resolva, em \mathbb{R}, as inequações a seguir.
\operatorname{sec} ^{2} x<\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
\operatorname{sec}^{2}x < \operatorname{sec} x
Observação: \operatorname{sec} x só está definida quando \cos x \neq 0, ou seja x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Colocamos tudo num lado:
\operatorname{sec}^{2}x - \operatorname{sec} x < 0.

Passo 3

Fatorando, temos
\operatorname{sec} x\,(\operatorname{sec} x - 1) < 0.
Para um produto ser negativo, um fator deve ser positivo e o outro negativo.

Passo 4

Caso 1: \operatorname{sec} x<0 e \operatorname{sec} x-1>0.
A segunda condição dá \operatorname{sec} x>1, que contradiz \operatorname{sec} x<0. Logo, esse caso não gera solução.

Passo 5

Caso 2: \operatorname{sec} x>0 e \operatorname{sec} x-1<0.
A segunda condição exige 0<\operatorname{sec} x<1, mas sabemos que \lvert\operatorname{sec} x\rvert\ge1 sempre. Portanto, esse caso também não gera solução.

Resposta

Não há x\in\mathbb{R} que satisfaça \operatorname{sec}^{2}x<\operatorname{sec} x. Assim, o conjunto-solução é \varnothing.

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