Calcule f(x) :
f^{\prime \prime}(x)=\operatorname{sen}(x), f^{\prime}(0)=1, f(0)=1

Passo 1

O enunciado diz que
f''(x)=\sin(x),
com as condições iniciais \;f'(0)=1 e \;f(0)=1.
O conteúdo que vamos usar é integração indefinida para determinar f'(x) e depois f(x).

Passo 2

Integramos f''(x)=\sin(x) para achar f'(x).
f'(x)=\int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição f'(0)=1:
f'(0) = -\cos(0) + C_1 = -1 + C_1 = 1 \;\Longrightarrow\;C_1 = 2.
Logo
f'(x) = -\cos(x) + 2.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(-\cos(x)+2\bigr)\,dx = -\sin(x) + 2x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição f(0)=1:
f(0) = -\sin(0) + 2\cdot0 + C_2 = C_2 = 1.
Portanto
f(x) = 2x - \sin(x) + 1.

Resposta

f(x) = 2x - \sin(x) + 1.

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