Demonstre que cada uma das igualdades abaixo é identidade no respectivo universo U.
\operatorname{sen} x+\operatorname{cotg} x \cdot \cos x=\operatorname{cossec} x, em U=\{x \in \mathbb{R} \mid \operatorname{sen} x \neq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no universo
U = \{x\in\mathbb{R}\mid \operatorname{sen}x\neq 0\},
vale a identidade
\operatorname{sen}x + \operatorname{cotg}x\cdot\cos x = \operatorname{cossec}x.
Para isso vamos usar as definições \displaystyle \operatorname{cotg}x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}, \displaystyle \operatorname{cossec}x = \frac{1}{\operatorname{sen}x}
e a identidade pitagórica \displaystyle \operatorname{sen}^2x + \cos^2x = 1.

Passo 2

Reescrevendo o lado esquerdo com as definições:
\operatorname{sen}x + \operatorname{cotg}x\cdot\cos x = \operatorname{sen}x + \frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\,\cos x = \operatorname{sen}x + \frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen}x}.

Passo 3

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador \operatorname{sen}x:
\operatorname{sen}x = \frac{\operatorname{sen}^2x}{\operatorname{sen}x},
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\frac{\operatorname{sen}^2x}{\operatorname{sen}x} \;+\;\frac{\cos^2x}{\operatorname{sen}x} = \frac{\operatorname{sen}^2x + \cos^2x}{\operatorname{sen}x} = \frac{1}{\operatorname{sen}x} = \operatorname{cossec}x.

Resposta

\operatorname{sen}x + \operatorname{cotg}x\cdot\cos x = \operatorname{cossec}x
em todo x tal que \operatorname{sen}x\neq 0.

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