Encontre o campo vetorial gradiente \nabla f da função f abaixo:
f(x, y)=\operatorname{tg}(3 x-4 y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o campo gradiente de
f(x,y)=\tan\bigl(3x-4y\bigr).
Isso envolve calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y usando a regra da cadeia, pois há uma função composta \tan(u) com u=3x-4y.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x}, note que se f(x,y)=\tan(u) então
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u).
Aqui u=3x-4y, logo \frac{\partial u}{\partial x}=3. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\operatorname{sec}^2\bigl(3x-4y\bigr)\cdot3.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y}, usamos a mesma ideia: \frac{\partial u}{\partial y}=-4. Assim,
\frac{\partial f}{\partial y} =\operatorname{sec}^2\bigl(3x-4y\bigr)\cdot(-4).

Passo 4

Juntando as duas componentes, o gradiente é o vetor
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =\bigl(3\operatorname{sec}^2(3x-4y),\,-4\operatorname{sec}^2(3x-4y)\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(3\operatorname{sec}^2(3x-4y),\,-4\operatorname{sec}^2(3x-4y)\bigr).

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