Determine as equações dos planos tangente e da reta normal ao gráfico da função dada. no ponto dado:
f(x, y)=3 x^{2} y-x y em (0,1, f(0,1))

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
z = f(x,y) = 3x^2y - xy
no ponto (0,1,f(0,1)). O conteúdo aqui é cálculo diferencial em múltiplas variáveis, usando derivadas parciais para obter coeficientes do plano e o vetor normal.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y - xy) = 6xy - y,
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y - xy) = 3x^2 - x.
No ponto (0,1) temos
f_x(0,1) = 6\cdot0\cdot1 - 1 = -1,\quad f_y(0,1) = 3\cdot0^2 - 0 = 0,
e
f(0,1) = 3\cdot0^2\cdot1 - 0\cdot1 = 0.
Logo o ponto no espaço é (0,1,0).

Passo 3

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (x_0,y_0,z_0) é
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(0,1,0) e f_x(0,1)=-1, f_y(0,1)=0,
z - 0 = (-1)(x - 0) + 0\,(y - 1) \quad\Longrightarrow\quad z = -\,x.

Passo 4

Para a reta normal, usamos o vetor normal ao gráfico, dado pelo gradiente de F(x,y,z)=f(x,y)-z:
\nabla F = \bigl(f_x,\,f_y,\,-1\bigr),
avaliado em (0,1,0): \nabla F(0,1,0)=(-1,0,-1). A reta normal em forma paramétrica é
(x,y,z) = (0,1,0) + t\,(-1,0,-1),
ou seja
x = -t,\quad y = 1,\quad z = -t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Plano tangente:
z = -\,x.
Reta normal (paramétrica):
x=-t,\quad y=1,\quad z=-t,\quad t\in\mathbb{R}.

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