Calcule f(x) em que f(x) é igual a \left(x^{3}+\sqrt{x}\right) \operatorname{cosec} x

Passo 1

O enunciado diz: "Calcule f(x) em que f(x) é igual a \left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\operatorname{cosec} x".
Informações dadas:
  • A função está explicitamente escrita como f(x)=\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\operatorname{cosec} x.
  • A expressão contém um produto entre x^{3}+\sqrt{x} e \operatorname{cosec} x.
O enunciado é curto e ambíguo: literalmente pede "Calcule f(x)" (o que seria apenas reescrever a função), mas o mais comum em exercícios é pedir a derivada de uma função escrita dessa forma. Não se resolve nada no Passo 1 além de listar o que o enunciado fornece.

Passo 2

Interpretação e escolha do que calcular (explicação do porquê): aqui vou assumir que o objetivo é calcular a derivada f'(x) — isto é padrão em exercícios do tipo "Calcule f(x) em que f(x)=\ldots" quando a intenção real é "Calcule f'(x)". Se a sua intenção fora outra (por exemplo integrar), diga depois, que eu refaço. Partindo da derivada, o método usado será a regra do produto, já que f(x) é produto de duas funções: uma função polinomial/raiz e uma função trigonométrica (cosecante).

Passo 3

Definir as funções componente e lembrar as regras que vamos usar:
  • Definimos u(x)=x^{3}+\sqrt{x} e v(x)=\csc x (aqui uso \csc x para \operatorname{cosec} x).
  • Regra do produto: para f(x)=u(x)v(x) vale
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Vou usar também:
  • Derivada de potência: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Derivada de raiz: \sqrt{x}=x^{1/2} então \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada da cosecante: \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\big)=-\csc x\cot x. (Isto vem de \csc x=1/\sin x e da regra da cadeia/quotient.)

Passo 4

Calcular u'(x). Separando os termos:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} (pela regra de potência).
  • Derivada de \sqrt{x}=x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Calcular v'(x). Usando a regra conhecida para a cosecante:
v'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(\csc x\big)=-\csc x\cot x.
(Se quiser ver uma derivação rápida: \csc x=(\sin x)^{-1} então derivando (\sin x)^{-1} -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}=-\csc x\cot x.)

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\left(3x^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\csc x+\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\big(-\csc x\cot x\big).

Passo 7

Organizar e simplificar a expressão (fazer uma fatoração comum \csc x para ficar mais elegante e útil em prova):
f'(x)=\csc x\left(3x^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)-\csc x\left(x^{3}+\sqrt{x}\right)\cot x.
Fatorando \csc x:
f'(x)=\csc x\left(3x^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\big(x^{3}+\sqrt{x}\big)\cot x\right).

Passo 8

Comentário final sobre domínio (útil na prova): como apareceu \sqrt{x}, estamos trabalhando em \,x\ge0 para que a raiz seja real; porém \csc x exige \sin x\neq0, então os pontos x=k\pi (com k\in\mathbb{Z}) devem ser excluídos. Em resumo: domínio prático para essa expressão real e derivável é x>0 com x\neq k\pi. (Em x=0 a cosecante não existe.)

Resposta

f'(x)=\csc x\left(3x^{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\big(x^{3}+\sqrt{x}\big)\cot x\right)

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