Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado diz: "Calcule
em que
é igual a
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função está explicitamente escrita como
. - A expressão contém um produto entre
e .
O enunciado é curto e ambíguo: literalmente pede "Calcule
" (o que seria apenas reescrever a função), mas o mais comum em exercícios é pedir a derivada de uma função escrita dessa forma. Não se resolve nada no Passo 1 além de listar o que o enunciado fornece.
Passo 2
Interpretação e escolha do que calcular (explicação do porquê): aqui vou assumir que o objetivo é calcular a derivada
— isto é padrão em exercícios do tipo "Calcule
em que
" quando a intenção real é "Calcule
". Se a sua intenção fora outra (por exemplo integrar), diga depois, que eu refaço. Partindo da derivada, o método usado será a regra do produto, já que
é produto de duas funções: uma função polinomial/raiz e uma função trigonométrica (cosecante).
Passo 3
Definir as funções componente e lembrar as regras que vamos usar:
- Definimos
e (aqui uso para ). - Regra do produto: para
vale
Vou usar também:
- Derivada de potência: se
então . - Derivada de raiz:
então . - Derivada da cosecante:
. (Isto vem de e da regra da cadeia/quotient.)
Passo 4
Calcular
. Separando os termos:
- Derivada de
é (pela regra de potência). - Derivada de
é .
Portanto
Passo 5
Calcular
. Usando a regra conhecida para a cosecante:
(Se quiser ver uma derivação rápida:
então derivando
dá
.)
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 7
Organizar e simplificar a expressão (fazer uma fatoração comum
para ficar mais elegante e útil em prova):
Fatorando
:
Passo 8
Comentário final sobre domínio (útil na prova): como apareceu
, estamos trabalhando em
para que a raiz seja real; porém
exige
, então os pontos
(com
) devem ser excluídos. Em resumo: domínio prático para essa expressão real e derivável é
com
. (Em
a cosecante não existe.)