Calcule f(x), sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\operatorname{sen}(x), f^{\prime}(0)=1 e f(0)=1. (0,6 pts)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos f''(x)=\sin(x), f'(0)=1 e f(0)=1. Para encontrar f(x) vamos integrar duas vezes, determinando em cada etapa as constantes de integração.

Passo 2

Integramos f''(x) para obter f'(x).
f'(x)=\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C_1.
Para achar C_1, usamos f'(0)=1:
-\,\cos(0)+C_1=1\quad\Longrightarrow\quad -1+C_1=1\quad\Longrightarrow\quad C_1=2.
Logo,
f'(x)=2-\cos(x).

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(2-\cos(x)\bigr)\,dx=2x-\sin(x)+C_2.
Usando f(0)=1
2\cdot0-\sin(0)+C_2=1\quad\Longrightarrow\quad C_2=1.
Portanto,
f(x)=2x-\sin(x)+1.

Resposta

f(x)=2x-\sin(x)+1.

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