Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
y=x^{2}-1 e y=1-x^{2}(0,5 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas \,y=x^2-1 e \,y=1-x^2. O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre curvas usando integrais. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
  2. Determinar qual é a curva superior e qual é a inferior no intervalo de integração.
  3. Aplicar a fórmula
A = \int_{a}^{b}\bigl(f_{\text{superior}}(x)-f_{\text{inferior}}(x)\bigr)\,dx.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x^2-1 = 1 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Substituindo em qualquer das curvas, vemos que y=0. Logo, as curvas se cruzam em (-1,0) e (1,0).

Passo 3

Para esboçar:
  • \,y = x^2 - 1 é uma parábola voltada para cima, com vértice em (0,-1).
  • \,y = 1 - x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1).
    Elas se encontram em (-1,0) e (1,0), formando uma região em forma de lente simétrica em torno do eixo y.

Passo 4

No intervalo de x=-1 a x=1, a curva superior é y=1-x^2 e a inferior é y=x^2-1. Assim,
A = \int_{-1}^{1}\Bigl[(1 - x^2)-\bigl(x^2 - 1\bigr)\Bigr]\,dx.

Passo 5

Simplificando o integrando:
(1 - x^2)-(x^2 - 1) = 2 - 2x^2.
Então
A = \int_{-1}^{1}(2 - 2x^2)\,dx = \left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \Bigl(2 - \tfrac{2}{3}\Bigr) - \Bigl(-2 + \tfrac{2}{3}\Bigr) = \frac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{8}{3}.

Exercícios relacionados