Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo:
e
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre curvas usando integrais. Para isso, precisamos:
- Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
- Determinar qual é a curva superior e qual é a inferior no intervalo de integração.
- Aplicar a fórmula
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de
:
Substituindo em qualquer das curvas, vemos que
. Logo, as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Para esboçar:
-
é uma parábola voltada para cima, com vértice em . -
é uma parábola voltada para baixo, com vértice em .
Elas se encontram eme , formando uma região em forma de lente simétrica em torno do eixo .
Passo 4
No intervalo de
a
, a curva superior é
e a inferior é
. Assim,
Passo 5
Simplificando o integrando:
Então
Resposta
A área da região é
.