Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx
e pede (1) esboçar a região de integração em xy e (2) trocar a ordem de integração. O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas, em particular a descrição de domínios e a inversão de ordem de integração.

Passo 2

A região D é
D=\bigl\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;0\le y\le \sqrt{4-x^{2}}\bigr\}.
Como \sqrt{4-x^{2}} é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x, D é exatamente o “meio-disco” de raio 2 sobre o eixo x. No plano, basta desenhar o círculo x^{2}+y^{2}=4 e tomar a parte que fica acima de y=0 com -2\le x\le2.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos primeiro y. Na região D, y varia de 0 (eixo x) até a borda do disco, ou seja, até y=2. Para cada y dado, x percorre o intervalo entre as duas raízes de x^{2}+y^{2}=4, isto é, de -\sqrt{4-y^{2}} até +\sqrt{4-y^{2}}.

Passo 4

Substituindo esses novos limites, a integral com ordem trocada fica
\int_{y=0}^{2}\int_{x=-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

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