Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede (1) esboçar a região de integração em
e (2) trocar a ordem de integração. O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas, em particular a descrição de domínios e a inversão de ordem de integração.
Passo 2
A região
é
Como
é o semicírculo de raio
acima do eixo
,
é exatamente o “meio-disco” de raio
sobre o eixo
. No plano, basta desenhar o círculo
e tomar a parte que fica acima de
com
.
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos primeiro
. Na região
,
varia de
(eixo
) até a borda do disco, ou seja, até
. Para cada
dado,
percorre o intervalo entre as duas raízes de
, isto é, de
até
.
Passo 4
Substituindo esses novos limites, a integral com ordem trocada fica