Considerar as grandezas S e D definidas por
S=x+y \quad \text { e } \quad D=x-y
onde x e y são grandezas positivas medidas experimentalmente. Verificar que:
  • Se x e y são de mesma ordem de grandeza, a incerteza relativa em D é muito maior que a incerteza relativa em S.
  • Se y \ll x e as incertezas relativas em x e y são de mesma ordem de grandeza, a incerteza em y praticamente não influi nas incertezas finais em S e em D.

Passo 1

O enunciado define as grandezas S=x+y e D=x-y, onde x e y são medidas experimentais positivas com incertezas \Delta x e \Delta y. O conteúdo a usar é a propagação de incertezas para soma e diferença de variáveis independentes.

Passo 2

Como S e D dependem linearmente de x e y e os erros são independentes, vale:
\Delta S = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}, \quad \Delta D = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
Ou seja, têm a mesma incerteza absoluta.

Passo 3

As incertezas relativas ficam
\frac{\Delta S}{S} =\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\,x+y\,}, \quad \frac{\Delta D}{D} =\frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\,x-y\,}.

Passo 4

Se x e y são de mesma ordem x\approx y, então x-y\ll x+y. Assim o denominador de \Delta D/D é muito menor que o de \Delta S/S, o que faz \Delta D/D\gg \Delta S/S.

Passo 5

Se y\ll x e \Delta x/x\sim\Delta y/y, então \Delta y=(\Delta y/y)\,y\ll(\Delta x/x)\,x=\Delta x. Logo
\Delta S=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx\Delta x, \quad \Delta D\approx\Delta x.
Como S\approx x e D\approx x, temos \Delta S/S\approx\Delta x/x e \Delta D/D\approx\Delta x/x, sem dependência relevante de \Delta y.

Resposta

  • Quando x e y são de mesma ordem de grandeza, \Delta D/D\gg\Delta S/S.
  • Quando y\ll x e \Delta x/x\sim\Delta y/y, a incerteza em y praticamente não influi em \Delta S nem em \Delta D.

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