Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{x^{3}+5 x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}} d x(0,6 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}+5x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx,
que é uma função racional. Vamos usar o método de frações parciais, que consiste em fatorar o denominador, decompor a fração em termos mais simples e depois integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{4}+x^{2}=x^{2}\,(x^{2}+1).
Então escrevemos
\frac{x^{3}+5x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) para achar A,B,C,D:
x^{3}+5x^{2}+x+2 = A\,x\,(x^{2}+1)+B\,(x^{2}+1)+(Cx+D)\,x^{2}.
Expandindo e agrupando coeficientes:
x^{3}+5x^{2}+x+2 =(A+C)\,x^{3}+(B+D)\,x^{2}+A\,x+B.
Comparando termo a termo com o lado esquerdo:
\begin{cases} A+C=1,\\\ B+D=5,\\\ A=1,\\\ B=2. \end{cases}

Passo 4

Da terceira e quarta equações vem A=1 e B=2.
Logo
C=1-A=0, \qquad D=5-B=3.
Portanto a decomposição é
\frac{x^{3}+5x^{2}+x+2}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{2}+1}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr|,\quad \int \frac{2}{x^{2}}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = -\frac{2}{x},\quad \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\arctan x.

Resposta

\int \frac{x^{3}+5x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| \;-\;\frac{2}{x}\;+\;3\arctan x \;+\;C.

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