Calcule
f(x, y)=y
C : segmento de reta de (0,0) até (0,3).

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=y e a curva C que é o segmento de reta do ponto (0,0) até o ponto (0,3). O pedido é “Calcule” — vou interpretar isso como calcular a integral de linha do escalar f ao longo de C com respeito ao comprimento de arco, ou seja:
\int_{C} f(x,y)\,ds.

Passo 2

Parametrização do segmento C. Como C é a reta vertical que vai de (0,0) a (0,3), a parametrização mais simples é usar o próprio valor de y como parâmetro t. Defino
x(t)=0,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,3].
Explicação rápida: aqui t percorre os valores de y do início ao fim do segmento; quando t=0 estamos em (0,0) e quando t=3 estamos em (0,3).

Passo 3

Fórmula da integral de linha de uma função escalar. Para uma parametrização \big(x(t),y(t)\big), t\in[a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\;dt.
O que cada termo significa:
  • f\big(x(t),y(t)\big) é a função escalar avaliada ao longo da curva parametrizada.
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas das componentes da parametrização em relação a t.
  • \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade escalar \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert, e multiplicando por dt obtemos o elemento de comprimento ds.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Primeiro calculo as derivadas da parametrização:
x'(t)=0,\qquad y'(t)=1.
Logo
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1.
A função along the curve é f\big(x(t),y(t)\big)=y(t)=t. Portanto a integral fica
\int_{C} f\,ds=\int_{0}^{3} t\cdot 1\;dt=\int_{0}^{3} t\;dt.

Passo 5

Calculo da integral simples. A primitiva de t é t^{2}/2. Assim
\int_{0}^{3} t\;dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{9}{2}.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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