Calcule
: segmento de reta de
até
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e a curva
que é o segmento de reta do ponto
até o ponto
. O pedido é “Calcule” — vou interpretar isso como calcular a integral de linha do escalar
ao longo de
com respeito ao comprimento de arco, ou seja:
Passo 2
Parametrização do segmento
. Como
é a reta vertical que vai de
a
, a parametrização mais simples é usar o próprio valor de
como parâmetro
. Defino
Explicação rápida: aqui
percorre os valores de
do início ao fim do segmento; quando
estamos em
e quando
estamos em
.
Passo 3
Fórmula da integral de linha de uma função escalar. Para uma parametrização
,
, a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
O que cada termo significa:
-
é a função escalar avaliada ao longo da curva parametrizada. -
e são as derivadas das componentes da parametrização em relação a . -
é a velocidade escalar , e multiplicando por obtemos o elemento de comprimento .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Primeiro calculo as derivadas da parametrização:
Logo
A função along the curve é
. Portanto a integral fica
Passo 5
Calculo da integral simples. A primitiva de
é
. Assim