Calcule f[0,\infty) x* e^(-x) dx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx. Esse é um caso de integral imprópria (devido ao limite no infinito) e podemos resolvê-la usando integração por partes ou reconhecendo que ela corresponde à função Gama em 2.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral em intervalo finito. Definimos
I = \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x\,e^{-x}\,dx, aplicamos integração por partes. Tomamos u = x \Longrightarrow du = dx dv = e^{-x}\,dx \Longrightarrow v = -e^{-x}.
Pela fórmula \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C.

Passo 4

Avaliamo essa primitiva entre 0 e A:
\int_{0}^{A} x\,e^{-x}\,dx = \bigl[-x\,e^{-x} - e^{-x}\bigr]_{0}^{A} = \bigl(-A e^{-A} - e^{-A}\bigr) - \bigl(0\cdot e^{0} - e^{0}\bigr) = -A e^{-A} - e^{-A} + 1.

Passo 5

Agora fazemos A\to\infty. Como e^{-A}\to0 e A\,e^{-A}\to0, concluímos
I = \lim_{A\to\infty}\bigl(-A e^{-A} - e^{-A} + 1\bigr) = 1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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