Calcule \int(-\infty,0] 1/(1+x^2) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx,
que envolve um limite no infinito e a função \tfrac1{1+x^2}. Para resolver, vamos usar a definição de integral imprópria via limite e a antiderivada de \tfrac1{1+x^2}, que é \arctan x.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite:
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx.
Como \arctan x é antiderivada de \tfrac1{1+x^2}, temos
\int_{A}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \bigl[\arctan x\bigr]_{A}^{0} = \arctan(0) - \arctan(A).
Sabendo que \arctan(0)=0 e
\lim_{A\to -\infty}\arctan(A) = -\frac{\pi}{2},
fazendo o limite fica
\lim_{A\to -\infty}\bigl(0 - \arctan(A)\bigr) = 0 - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

A integral converge e vale \displaystyle \frac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados