Calcule \int(-\infty,0] e^x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx.
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais impróprias com limite infinito, usando a definição via limite e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita. Seja a<0, então
\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} e^{x}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de e^{x}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, uma antiderivada de e^{x} é
\int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 4

Avaliamo-la entre x=a e x=0:
\int_{a}^{0} e^{x}\,dx = \Bigl[e^{x}\Bigr]_{x=a}^{x=0} = e^{0} - e^{a} = 1 - e^{a}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to -\infty. Como
\lim_{a\to -\infty} e^{a} = 0,
temos
\lim_{a\to -\infty} \bigl(1 - e^{a}\bigr) = 1 - 0 = 1.

Resposta

\int_{-\infty}^{0} e^{x}\,dx = 1.

Exercícios relacionados