Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea e encontre a solução geral. y^{\prime \prime}+y=\sin ^{2} x, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
y''+y=\sin^2 x
usando variação de parâmetros e, depois, impor as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo principal é a solução de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro encontramos as soluções da homogênea
y''+y=0.
As funções
y_1(x)=\cos x,\quad y_2(x)=\sin x
são solução porque substituindo obtemos \cos''x+\cos x=-\cos x+\cos x=0 e \sin''x+\sin x=-\sin x+\sin x=0.
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x)= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =\cos^2x+\sin^2x=1.
Na variação de parâmetros, f(x)=\sin^2x, e usaremos