Encontre as soluções gerais usando variação de parâmetros. Se alguma condição for dada, encontre a solução do PVI. No exercício 14, verifique se y_{1} e y_{2} são soluções da homogênea e encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}+y=\sin ^{2} x, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y''+y=\sin^2 x
usando variação de parâmetros e, depois, impor as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo principal é a solução de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro encontramos as soluções da homogênea
y''+y=0.
As funções
y_1(x)=\cos x,\quad y_2(x)=\sin x
são solução porque substituindo obtemos \cos''x+\cos x=-\cos x+\cos x=0 e \sin''x+\sin x=-\sin x+\sin x=0.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x)= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =\cos^2x+\sin^2x=1.
Na variação de parâmetros, f(x)=\sin^2x, e usaremos
I_1=\int y_2\,\frac{f(x)}{W}\,dx,\quad I_2=\int y_1\,\frac{f(x)}{W}\,dx.

Passo 4

Calculamos as integrais:
I_1=\int \sin x\sin^2x\,dx =\int \sin^3x\,dx =\int (1-\cos^2x)\sin x\,dx.
Fazendo u=\cos x, du=-\sin x\,dx,
I_1=-\int (1-u^2)\,du =-\bigl(u-\tfrac{u^3}{3}\bigr) =-\cos x+\tfrac{\cos^3x}{3}.
Em seguida,
I_2=\int \cos x\sin^2x\,dx
fazendo u=\sin x, du=\cos x\,dx,
I_2=\int u^2\,du=\tfrac{u^3}{3}=\tfrac{\sin^3x}{3}.

Passo 5

A fórmula da variação de parâmetros dá
y_p=-y_1\,I_1+y_2\,I_2 =-\cos x\Bigl(-\cos x+\tfrac{\cos^3x}{3}\Bigr) +\sin x\cdot\tfrac{\sin^3x}{3}.
Simplificando:
y_p =\cos^2x-\tfrac{\cos^4x}{3}+\tfrac{\sin^4x}{3} =\tfrac{2\cos^2x+\sin^2x}{3} =\tfrac{1+\cos^2x}{3}.

Passo 6

A solução geral da EDO é
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\tfrac{1+\cos^2x}{3}.

Passo 7

Impondo y(0)=1 e y'(0)=0:
  1. Em x=0:
y(0)=C_1+\tfrac{1+\cos^2 0}{3} =C_1+\tfrac{2}{3}=1 \;\Longrightarrow\;C_1=\tfrac{1}{3}.
  1. Derivando
y'(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x-\tfrac{\sin2x}{3},
em x=0:
y'(0)=C_2=0.

Resposta

\boxed{y(x)=\tfrac{1}{3}\cos x+\tfrac{1+\cos^2x}{3} =\tfrac{\cos^2x+\cos x+1}{3}.}

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