Calcule f[0,\infty) x^2* e^(-x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx.
O conteúdo envolvido é avaliação de integrais impróprias e uso do método de integração por partes.

Passo 2

Definimos
I = \int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} x^{2}e^{-x}\,dx.
Como x^{2}e^{-x} decai exponencialmente para x\to\infty, essa integral converge.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em \int_{0}^{b}x^{2}e^{-x}\,dx. Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = e^{-x}\,dx
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du = 2x\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Assim,
\int_{0}^{b}x^{2}e^{-x}\,dx = \bigl[-x^{2}e^{-x}\bigr]_{0}^{b} + 2\int_{0}^{b}x e^{-x}\,dx.
No limite b\to\infty, tem-se \lim_{b\to\infty}b^{2}e^{-b}=0 e em x=0 o termo é zero. Portanto
I = 2\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\,dx fazemos outra vez integração por partes com
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx
resultando em
\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\,dx = \bigl[-x e^{-x}\bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}e^{-x}\,dx = 0 + \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{\infty} = 1.
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I = 2 \times 1 = 2.

Resposta

2

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