\left(8 x^{5}-4 x^{4}+12 x^{2}-6 x+12\right) \div(2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio
P(x)=8x^{5}-4x^{4}+12x^{2}-6x+12
pelo binômio
D(x)=2x+1.
O conteúdo é divisão de polinômios, que faremos por meio de método da chave (ou “long division”), alinhando termos de mesma potência e subtraindo sucessivamente.

Passo 2

Primeiro, escrevemos P(x) incluindo o coeficiente zero do termo x^3:
8x^5 \;-\;4x^4 \;+\;0x^3 \;+\;12x^2 \;-\;6x \;+\;12.
Dividimos o termo líder 8x^5 por 2x, obtendo o primeiro termo do quociente:
q_1=4x^4.
Multiplicamos D(x) por 4x^4 e subtraímos de P(x):
4x^4\cdot(2x+1)=8x^5+4x^4,
(8x^5-4x^4)-(8x^5+4x^4)=-8x^4.
A seguir, trazemos os termos seguintes, resultando em
-8x^4+0x^3+12x^2.

Passo 3

Agora dividimos -8x^4 por 2x, dando
q_2=-4x^3.
Multiplicamos e subtraímos:
-4x^3\cdot(2x+1)=-8x^4-4x^3,
(-8x^4+0x^3)-(-8x^4-4x^3)=4x^3.
Trazendo o +12x^2, obtemos
4x^3+12x^2.

Passo 4

Dividimos 4x^3 por 2x, resultando
q_3=2x^2.
Multiplicando e subtraindo:
2x^2\cdot(2x+1)=4x^3+2x^2,
(4x^3+12x^2)-(4x^3+2x^2)=10x^2.
A seguir, trazemos -6x e temos
10x^2-6x.

Passo 5

Dividimos 10x^2 por 2x, obtendo
q_4=5x.
Multiplicamos e subtraímos:
5x\cdot(2x+1)=10x^2+5x,
(10x^2-6x)-(10x^2+5x)=-11x.
Trazemos o termo constante +12, ficando
-11x+12.
Por fim, dividimos -11x por 2x, obtendo
q_5=-\tfrac{11}{2}.
Multiplicando e subtraindo dá resto
-\tfrac{11}{2}\cdot(2x+1)=-11x-\tfrac{11}{2},
(-11x+12)-(-11x-\tfrac{11}{2})=12+\tfrac{11}{2}=\tfrac{35}{2}.

Passo 6

Reunindo todos os termos do quociente, temos
Q(x)=4x^4-4x^3+2x^2+5x-\tfrac{11}{2},
e o resto
R=\tfrac{35}{2}.
Portanto,
\frac{8x^5-4x^4+12x^2-6x+12}{2x+1} =Q(x)+\frac{R}{2x+1} =4x^4-4x^3+2x^2+5x-\tfrac{11}{2}+\frac{\tfrac{35}{2}}{2x+1}.

Resposta

Quociente: 4x^4-4x^3+2x^2+5x-\tfrac{11}{2}
Resto: \tfrac{35}{2}

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