Calcule um fator integrante para a EDO e resolva o PVI cx(x+1) y^prime+x y-1=0 y(e)=1.

Passo 1

No enunciado temos o PVI x(x+1)y' + x,y -1 =0, y(e)=1. O conteúdo é EDO de 1ª ordem linear e vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) dividindo tudo por x(x+1). Assim obtemos
y' + 1x+1,y = 1x(x+1)

Passo 3

O fator integrante é definido por mu(x)=expl(integral P(x),dxr). Aqui
P(x)=1x+1implies mu(x)=expl(integral1x+1dxr)=|x+1|
Tomando o domínio x>-1 podemos usar mu(x)=x+1.

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x+1 obtemos
(x+1)y' + y = 1x
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto (x+1)y:
ddxl[(x+1)yr] = 1x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
(x+1)y = integral 1x ,dx = ln|x| + C

Passo 6

Isolando y vem
y = ln|x| + Cx+1

Passo 7

Para determinar a constante, usamos a condição inicial y(e)=1:
1 = ln e + Ce+1 = 1 + Ce+1 implies C = e

Resposta

O fator integrante é mu(x)=x+1 e a solução do PVI é
y(x)=ln x + ex+1

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