Determine o rotacional
g(x, y, z)=2 y imath+(2 x+3 z) jmath+3 y k

Passo 1

O exercício pede o rotacional de um campo vetorial em \, onde \. Vamos usar a definição de rotacional de um campo em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo: i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z P & Q & R , e . O rotacional em determinante fica:
[\nabla \times g = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}\]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias e cada componente do rotacional: i) componente -l(partial Rpartial x-partial Ppartial zr)=- (0-0)=0: . ii) componente : $-\bigl(\\frac{\\partial R}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial z}\\bigr)=- (0-0)=0$. iii) componente : .

Passo 4

Como todas as componentes ficaram zero, concluímos que o rotacional de é o vetor nulo.

Resposta

$\nabla\times g = \mathbf{0}$

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