Determine o rotacional
Passo 1
O exercício pede o rotacional de um campo vetorial em
\, onde
\. Vamos usar a definição de rotacional de um campo em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do campo:
,
e
. O rotacional em determinante fica:
[\nabla \times g = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}\]
[\nabla \times g = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}\]
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias e cada componente do rotacional: i) componente
:
. ii) componente
: $-\bigl(\\frac{\\partial R}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial z}\\bigr)=- (0-0)=0$. iii) componente
:
.
Passo 4
Como todas as componentes ficaram zero, concluímos que o rotacional de
é o vetor nulo.
Resposta
$\nabla\times g = \mathbf{0}$