A taxa de decaimento (variação) da massa do elemento químico rádio é proporcional, em cada instante, a quantidade de massa, isto é d md t=k m onde m=m(t) é a massa no instante t e k é a constante de proporcionalidade. Admita que no instante t=0 havia m0 gramas de rádio e que a massa diminui 1 % após 23 anos. Nestas condiçőes:
Calcule a meia vida do rádio, isto é, o tempo necessário para que a massa do rádio se reduza a metade.

Passo 1

Neste exercício, o enunciado diz que a taxa de decaimento da massa de rádio satisfaz a equação diferencial de decaimento exponencial, ou seja, tfracdmdt=k,m. O conteúdo é EDO de primeira ordem com separação de variáveis e vamos precisar usar condições iniciais e dados de decaimento para determinar a constante k e depois calcular a meia-vida.

Passo 2

Para resolver a EDO tfracdmdt=k,m, separamos variáveis: escrevemos tfrac1m,dm = k,dt e integramos em cada lado. Isso dá
integral 1m,dm = integral k,dt implies ln|m| = k,t + C1

Passo 3

Usando a condição inicial m(0)=m0, temos
ln|m0| = kcdot0 + C1 implies C1 = ln m0
Logo, a solução geral fica
m(t) = m0,e^k,t

Passo 4

O enunciado informa que após 23 anos a massa cai para 99% do valor inicial: m(23)=0.99,m0. Substituindo na solução,
m0,e^kcdot23 = 0.99,m0 implies e^23k = 0.99 implies k = 123ln(0.99)

Passo 5

A meia-vida T1/2 é o tempo em que m(T1/2) = tfrac12m0. Logo,
m0,e^k,T1/2 = 12m0 implies e^k,T1/2 = 12 implies T1/2 = ln(1/2)k

Passo 6

Substituindo k=tfrac123ln(0.99) obtemos
T1/2 = ln(1/2)(1/23)ln(0.99) = 23,ln(1/2)ln(0.99) approx 1,586 anos

Resposta

A meia-vida do rádio é
T1/2 = 23,ln(1/2)ln(0.99) approx 1,586 anos

Exercícios relacionados