A taxa de decaimento (variação) da massa do elemento químico rádio é proporcional, em cada instante, a quantidade de massa, isto é
onde
é a massa no instante
e
é a constante de proporcionalidade. Admita que no instante
havia
gramas de rádio e que a massa diminui
após 23 anos. Nestas condiçőes:
Calcule a meia vida do rádio, isto é, o tempo necessário para que a massa do rádio se reduza a metade.
Calcule a meia vida do rádio, isto é, o tempo necessário para que a massa do rádio se reduza a metade.
Passo 1
Neste exercício, o enunciado diz que a taxa de decaimento da massa de rádio satisfaz a equação diferencial de decaimento exponencial, ou seja,
. O conteúdo é EDO de primeira ordem com separação de variáveis e vamos precisar usar condições iniciais e dados de decaimento para determinar a constante
e depois calcular a meia-vida.
Passo 2
Para resolver a EDO
, separamos variáveis: escrevemos
e integramos em cada lado. Isso dá
Passo 3
Usando a condição inicial
, temos
Logo, a solução geral fica
Passo 4
O enunciado informa que após 23 anos a massa cai para 99% do valor inicial:
. Substituindo na solução,
Passo 5
A meia-vida
é o tempo em que
. Logo,
Passo 6
Substituindo
obtemos
Resposta
A meia-vida do rádio é