Sejam
\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 4 \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 4 \\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 6 \end{array}\right), \\\ C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 2 & 2 & 6 \end{array}\right) \end{gathered}
(a) Ache uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) Ache uma matriz elementar F tal que F B= C.
(c) C é equivalente linha de A ? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 2 & 1 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 2 & 1 & 3 \\[4pt] 2 & 2 & 6\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & -1 & -3 \\[4pt] 2 & 2 & 6\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Encontrar uma matriz elementar E tal que E A = B.
(b) Encontrar uma matriz elementar F tal que F B = C.
(c) Determinar se C é equivalente por linhas a A (explicar).
Vou primeiro identificar claramente quais linhas mudam entre as matrizes e depois construir as matrizes elementares correspondentes.]

Passo 2

Rápida explicação do que é uma matriz elementar e como ela atua (aqui é a “aula” necessária).
  • Uma matriz elementar é obtida aplicando-se uma única operação elementar de linha em uma matriz identidade.
  • As operações elementares de linha são: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não-nulo; (iii) somar um múltiplo de uma linha a outra.
  • Se E é a matriz elementar obtida aplicando uma operação de linha às linhas da identidade I, então multiplicar à esquerda por E aplica essa mesma operação a qualquer matriz M: E M é a matriz resultante de aplicar a operação de linha a M.
  • Conclusão prática: para achar E que transforma A em B, descubro qual operação de linha leva A em B e aplico essa operação à identidade para obter E.

Passo 3

Compare as linhas de [A) e B:
  • \text{linha}_1(A) = (1,2,4) = \text{linha}_1(B) (permanece).
  • \text{linha}_2(A) = (2,1,3) = \text{linha}_2(B) (permanece).
  • \text{linha}_3(A) = (1,0,2), enquanto \text{linha}_3(B) = (2,2,6) (mudou).
Procuro uma operação do tipo “nova linha 3 = combinação linear das linhas originais” que produza (2,2,6). Tento achar coeficientes x,y,z tais que
x\,(1,2,4)+y\,(2,1,3)+z\,(1,0,2)=(2,2,6).
Isso dá o sistema (compondo coordenadas):
\begin{cases} x+2y+z = 2,\\[4pt] 2x+y = 2,\\[4pt] 4x+3y+2z = 6. \end{cases}
Da segunda equação 2x+y=2\] vem \(y=2-2x. Substituindo nas outras:
  • Primeira: x+2(2-2x)+z=2\Rightarrow -3x+z=-2\Rightarrow z=3x-2.
  • Terceira: 4x+3(2-2x)+2(3x-2)=6. Simplificando: 4x+6-6x+6x-4=6\Rightarrow 4x+2=6\Rightarrow x=1.
    Então x=1,\\ y=0,\\ z=1. Logo
\text{nova linha}_3 = \text{linha}_1 + \text{linha}_3,
ou seja a operação elementar é R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Para obter E aplico a mesma operação à identidade I_3:
I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} \overset{R_3\leftarrow R_3+R_1}{\longmapsto} E=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]1&0&1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (interpretativa): multiplicando E por A, a terceira linha de E A é exatamente \text{linha}_3(A)+\text{linha}_1(A)=(1,0,2)+(1,2,4)=(2,2,6), que coincide com \text{linha}_3(B). Portanto esse E funciona.]

Passo 4

Compare as linhas de B e C:
  • \text{linha}_1(B) = (1,2,4) = \text{linha}_1\text{(C)} (permanece).
  • \text{linha}_3(B) = (2,2,6) = \text{linha}_3\text{(C)} (permanece).
  • \text{linha}_2(B) = (2,1,3) e \text{linha}_2\text{(C)} = (0,-1,-3) (mudou).
Procuro uma operação simples que transforme (2,1,3) em (0,-1,-3). Tentar R_2 \leftarrow R_2 - R_3:
(2,1,3)-(2,2,6)=(0,-1,-3),
que coincide exatamente com a nova linha 2. Então a operação é R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Aplicando essa operação à identidade obtemos F:
I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} \overset{R_2\leftarrow R_2-R_3}{\longmapsto} F=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&-1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: a segunda linha de F B será \text{linha}_2(B)-\text{linha}_3(B)=(2,1,3)-(2,2,6)=(0,-1,-3), que é \text{linha}_2\text{(C)}. Assim F satisfaz F B = C.]

Passo 5

Definição e ideia:
  • Duas matrizes M e N são equivalentes por linhas se existe uma matriz invertível P tal que N = P M. Matrizes elementares são invertíveis (cada operação elementar tem operação inversa também elementar) e, portanto, produto de matrizes elementares é invertível.
  • Aqui encontramos matrizes elementares E e F tais que B = E A e C = F B. Compondo,
C = F B = F (E A) = (F E) A.
Como E e F são invertíveis, o produto P:=F E é invertível; assim existe P tal que C = P A. Isso é exatamente a definição de equivalência por linhas: C é obtida de A por operações elementares de linha (duas operações, neste caso). Portanto C é equivalente por linhas a A.
Opcional: para ficar explícito, calcula-se
P=F E=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&-1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]1&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]-1&1&-1\\[4pt]1&0&1\end{pmatrix},
e de fato C=PA.
Pequeno incentivo: você já viu na prática como construir matrizes elementares — é exatamente aplicar a operação à identidade. Isso aparece muito em provas quando se pede “achar E tal que E A = …”: basta descobrir a operação de linha e aplicar à identidade. Continua firme!]

Resposta

(a) E=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]1&0&1\end{pmatrix}
(b) F=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&-1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}
(c) Sim, pois \;C=F\,B=F(EA)=(F E)A, ou seja, C é obtida de A por operações elementares de linha.]

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