As perguntas são:
(a) Encontrar uma matriz elementar E tal que E A = B.
(b) Encontrar uma matriz elementar F tal que F B = C.
(c) Determinar se C é equivalente por linhas a A (explicar).
Vou primeiro identificar claramente quais linhas mudam entre as matrizes e depois construir as matrizes elementares correspondentes.]
Passo 2
Rápida explicação do que é uma matriz elementar e como ela atua (aqui é a “aula” necessária).
Uma matriz elementar é obtida aplicando-se uma única operação elementar de linha em uma matriz identidade.
As operações elementares de linha são: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não-nulo; (iii) somar um múltiplo de uma linha a outra.
Se E é a matriz elementar obtida aplicando uma operação de linha às linhas da identidade I, então multiplicar à esquerda por E aplica essa mesma operação a qualquer matriz M: E M é a matriz resultante de aplicar a operação de linha a M.
Conclusão prática: para achar E que transforma A em B, descubro qual operação de linha leva A em B e aplico essa operação à identidade para obter E.
Verificação rápida (interpretativa): multiplicando E por A, a terceira linha de E A é exatamente \text{linha}_3(A)+\text{linha}_1(A)=(1,0,2)+(1,2,4)=(2,2,6), que coincide com \text{linha}_3(B). Portanto esse E funciona.]
Verificação rápida: a segunda linha de F B será \text{linha}_2(B)-\text{linha}_3(B)=(2,1,3)-(2,2,6)=(0,-1,-3), que é \text{linha}_2\text{(C)}. Assim F satisfaz F B = C.]
Passo 5
Definição e ideia:
Duas matrizes M e N são equivalentes por linhas se existe uma matriz invertível P tal que N = P M. Matrizes elementares são invertíveis (cada operação elementar tem operação inversa também elementar) e, portanto, produto de matrizes elementares é invertível.
Aqui encontramos matrizes elementares E e F tais que B = E A e C = F B. Compondo,
C = F B = F (E A) = (F E) A.
Como E e F são invertíveis, o produto P:=F E é invertível; assim existe P tal que C = P A. Isso é exatamente a definição de equivalência por linhas: C é obtida de A por operações elementares de linha (duas operações, neste caso). Portanto C é equivalente por linhas a A.
Pequeno incentivo: você já viu na prática como construir matrizes elementares — é exatamente aplicar a operação à identidade. Isso aparece muito em provas quando se pede “achar E tal que E A = …”: basta descobrir a operação de linha e aplicar à identidade. Continua firme!]