Calcule a fatoração LU da matriz A e resolva o sistema linear A x=b :
A=(cccc 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 ) ; b=(c 11 13 21.6 30 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a fatoração da matriz e resolver o sistema linear . Isso quer dizer que precisamos decompor a matriz em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), e depois usar essa decomposição para achar o vetor . Para isso, vamos precisar entender como funciona a fatoração e como resolver sistemas lineares usando essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a fatoração A = L cdot U . Basicamente, qualquer matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes: , que é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero), e , que é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). A forma é:
Isso é super útil porque resolve sistemas lineares fica mais fácil depois dessa decomposição.

Passo 3

Vamos começar a fatoração A = 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 da matriz L = 1 & 0 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 & 0 l31 & l32 & 1 & 0 l41 & l42 & l43 & 1 , U = u11 & u12 & u13 & u14 0 & u22 & u23 & u24 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44 . A matriz é:
Primeiro, vamos montar as matrizes e com a estrutura inicial:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os elementos de U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & u22 & u23 & u24 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44 e l21 = 12 = 0.5, l31 = 1.42 = 0.7, l41 = -22 = -1 um por um.
Começamos com a primeira linha de L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 & 0 0.7 & l32 & 1 & 0 -1 & l42 & l43 & 1 . Sabemos que , , , e .
Para , os elementos abaixo da diagonal são calculados dividindo o elemento correspondente de pelo pivô .

Passo 5

Agora, vamos atualizar a segunda linha de u22 = a22 - l21 cdot u12 = 3.5 - 0.5 cdot 3 = 3.5 - 1.5 = 2 . Usamos a fórmula:
u23 = a23 - l21 cdot u13 = 1 - 0.5 cdot 1 = 1 - 0.5 = 0.5
u24 = a24 - l21 cdot u14 = 7.5 - 0.5 cdot 5 = 7.5 - 2.5 = 5
U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & 2 & 0.5 & 5 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44
Atualizando :

Passo 6

Vamos calcular os próximos elementos de l32 = a32 - l31 cdot u12u22 = 2.7 - 0.7 cdot 32 = 2.7 - 2.12 = 0.62 = 0.3 . Para l42 = a42 - l41 cdot u12u22 = 1 - (-1) cdot 32 = 1 + 32 = 42 = 2 :
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 & 0 0.7 & 0.3 & 1 & 0 -1 & 2 & l43 & 1
Para :
Atualizando :

Passo 7

Agora, seguimos para a terceira linha de u33 = a33 - l31 cdot u13 - l32 cdot u23 = 5.5 - 0.7 cdot 1 - 0.3 cdot 0.5 = 5.5 - 0.7 - 0.15 = 4.65 :
u34 = a34 - l31 cdot u14 - l32 cdot u24 = 12 - 0.7 cdot 5 - 0.3 cdot 5 = 12 - 3.5 - 1.5 = 7
U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & 2 & 0.5 & 5 0 & 0 & 4.65 & 7 0 & 0 & 0 & u44
Atualizando :

Passo 8

Vamos calcular l43 = a43 - l41 cdot u13 - l42 cdot u23u33 = 3 - (-1) cdot 1 - 2 cdot 0.54.65 = 3 + 1 - 14.65 = 34.65 approx 0.6452 :
u44 = a44 - l41 cdot u14 - l42 cdot u24 - l43 cdot u34 = 28 - (-1) cdot 5 - 2 cdot 5 - 0.6452 cdot 7
Agora, para u44 = 28 + 5 - 10 - 4.5164 = 28 + 5 - 10 - 4.5164 = 18.4836 :
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 & 0 0.7 & 0.3 & 1 & 0 -1 & 2 & 0.6452 & 1 , U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & 2 & 0.5 & 5 0 & 0 & 4.65 & 7 0 & 0 & 0 & 18.4836
Calculando:
Atualizando e :

Passo 9

Agora que temos A x = b implies L U x = b e L y = b , vamos resolver o sistema usando essas matrizes. Primeiro, escrevemos:
Vamos chamar , então temos:
Primeiro, resolvemos por substituição para frente.

Passo 10

Resolvendo y1 = 11 0.5 y1 + y2 = 13 0.7 y1 + 0.3 y2 + y3 = 21.6 -1 y1 + 2 y2 + 0.6452 y3 + y4 = 30 :
0.5 cdot 11 + y2 = 13 implies 5.5 + y2 = 13 implies y2 = 13 - 5.5 = 7.5
Primeiro, já sabemos que 0.7 cdot 11 + 0.3 cdot 7.5 + y3 = 21.6 implies 7.7 + 2.25 + y3 = 21.6 implies y3 = 21.6 - 9.95 = 11.65 .
Segundo, substituindo:
-1 cdot 11 + 2 cdot 7.5 + 0.6452 cdot 11.65 + y4 = 30
Terceiro:
-11 + 15 + 7.52 + y4 = 30 implies 11.52 + y4 = 30 implies y4 = 30 - 11.52 = 18.48
Quarto:
11 7.5 11.65 18.48
Calculando:
Então, temos .

Passo 11

Agora, resolvemos 2 x1 + 3 x2 + 1 x3 + 5 x4 = 11 2 x2 + 0.5 x3 + 5 x4 = 7.5 4.65 x3 + 7 x4 = 11.65 18.4836 x4 = 18.48 por substituição para trás.
18.4836 x4 = 18.48 implies x4 = 18.4818.4836 approx 1
Começamos pela última equação:

Passo 12

Substituindo 4.65 x3 + 7 cdot 1 = 11.65 implies 4.65 x3 = 11.65 - 7 implies 4.65 x3 = 4.65 implies x3 = 1 na terceira equação:
2 x2 + 0.5 cdot 1 + 5 cdot 1 = 7.5 implies 2 x2 + 0.5 + 5 = 7.5 implies 2 x2 = 7.5 - 5.5 implies 2 x2 = 2 implies x2 = 1
Agora, na segunda equação:
2 x1 + 3 cdot 1 + 1 cdot 1 + 5 cdot 1 = 11 implies 2 x1 + 3 + 1 + 5 = 11 implies 2 x1 = 11 - 9 implies 2 x1 = 2 implies x1 = 1
Por fim, na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema x = 1 1 1 1 é:

Exercícios relacionados