Calcule a fatoração
da matriz
e resolva o sistema linear
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a fatoração
da matriz
e resolver o sistema linear
. Isso quer dizer que precisamos decompor a matriz
em duas matrizes:
(triangular inferior) e
(triangular superior), e depois usar essa decomposição para achar o vetor
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a fatoração
e como resolver sistemas lineares usando essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a fatoração
A = L cdot U . Basicamente, qualquer matriz quadrada
pode ser escrita como o produto de duas matrizes:
, que é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero), e
, que é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero). A forma é:
Isso é super útil porque resolve sistemas lineares fica mais fácil depois dessa decomposição.
Passo 3
Vamos começar a fatoração
A = 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 da matriz
L = 1 & 0 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 & 0 l31 & l32 & 1 & 0 l41 & l42 & l43 & 1 , U = u11 & u12 & u13 & u14 0 & u22 & u23 & u24 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44 . A matriz
é:
Primeiro, vamos montar as matrizes
e
com a estrutura inicial:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os elementos de
U = 2 & 3 & 1 & 5 0 & u22 & u23 & u24 0 & 0 & u33 & u34 0 & 0 & 0 & u44 e
l21 = 12 = 0.5, l31 = 1.42 = 0.7, l41 = -22 = -1 um por um.
Começamos com a primeira linha de
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5 & 1 & 0 & 0 0.7 & l32 & 1 & 0 -1 & l42 & l43 & 1 . Sabemos que
,
,
, e
.
Para
, os elementos abaixo da diagonal são calculados dividindo o elemento correspondente de
pelo pivô
.
Passo 5
Agora, vamos atualizar a segunda linha de
u22 = a22 - l21 cdot u12 = 3.5 - 0.5 cdot 3 = 3.5 - 1.5 = 2 . Usamos a fórmula:
Atualizando
:
Passo 6
Vamos calcular os próximos elementos de
l32 = a32 - l31 cdot u12u22 = 2.7 - 0.7 cdot 32 = 2.7 - 2.12 = 0.62 = 0.3 . Para
l42 = a42 - l41 cdot u12u22 = 1 - (-1) cdot 32 = 1 + 32 = 42 = 2 :
Para
:
Atualizando
:
Passo 7
Agora, seguimos para a terceira linha de
u33 = a33 - l31 cdot u13 - l32 cdot u23 = 5.5 - 0.7 cdot 1 - 0.3 cdot 0.5 = 5.5 - 0.7 - 0.15 = 4.65 :
Atualizando
:
Passo 8
Vamos calcular
l43 = a43 - l41 cdot u13 - l42 cdot u23u33 = 3 - (-1) cdot 1 - 2 cdot 0.54.65 = 3 + 1 - 14.65 = 34.65 approx 0.6452 :
Agora, para
u44 = 28 + 5 - 10 - 4.5164 = 28 + 5 - 10 - 4.5164 = 18.4836 :
Calculando:
Atualizando
e
:
Passo 9
Agora que temos
A x = b implies L U x = b e
L y = b , vamos resolver o sistema
usando essas matrizes. Primeiro, escrevemos:
Vamos chamar
, então temos:
Primeiro, resolvemos
por substituição para frente.
Passo 10
Resolvendo
y1 = 11 0.5 y1 + y2 = 13 0.7 y1 + 0.3 y2 + y3 = 21.6 -1 y1 + 2 y2 + 0.6452 y3 + y4 = 30 :
Primeiro, já sabemos que
0.7 cdot 11 + 0.3 cdot 7.5 + y3 = 21.6 implies 7.7 + 2.25 + y3 = 21.6 implies y3 = 21.6 - 9.95 = 11.65 .
Segundo, substituindo:
Terceiro:
Quarto:
Calculando:
Então, temos
.
Passo 11
Agora, resolvemos
2 x1 + 3 x2 + 1 x3 + 5 x4 = 11 2 x2 + 0.5 x3 + 5 x4 = 7.5 4.65 x3 + 7 x4 = 11.65 18.4836 x4 = 18.48 por substituição para trás.
Começamos pela última equação:
Passo 12
Substituindo
4.65 x3 + 7 cdot 1 = 11.65 implies 4.65 x3 = 11.65 - 7 implies 4.65 x3 = 4.65 implies x3 = 1 na terceira equação:
Agora, na segunda equação:
Por fim, na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema
x = 1 1 1 1 é: