Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
f=x y i-z k para fora (normal se afastando do eixo z ) através do cone z= 2 raizx^2+y^2, 0 <= z <= 1
Thomas 12ed exer 16.6.25

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo de f=xy,i-z,k através da superfície lateral do cone
z=2raizx^2+y^2, 0<= z<=1
com a normal apontando para fora (longe do eixo z). O conteúdo usado será parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
vec r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;2rr),
onde 0<= r<=tfrac12 (pois z=2r<=1) e 0<=theta<=2pi. Calculamos então os vetores tangentes vec rr e vec rtheta.

Passo 3

Calculamos
vec rr = (costheta,;sintheta,;2), vec rtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O produto vetorial é
vec N = vec rrtimesvec rtheta = l(-2rcostheta,;-2rsintheta,;rr)
Esse vec N aponta para dentro (em direção ao eixo z), então o normal para fora é
vec Nrm out = -vec N = l(2rcostheta,;2rsintheta,;-rr)

Passo 4

Em coordenadas paramétricas,
f = l(r^2costhetasintheta,;0,;-2rr)
O produto escalar com vec Nrm out fica
fcdotvec Nrm out =2r^3cos^2thetasintheta + 2r^2
O fluxo é
integral duplaS fcdothat n,dS =integral0^2pi!integral0^tfrac12l(2r^3cos^2thetasintheta+2r^2r),dr,dtheta
O primeiro termo anula-se ao integrar em theta, restando
2cdot2piintegral0^tfrac12r^2,dr =4picdot(1/2)^33 =pi6

Resposta

pi6

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