Dada a e.d.o:
(a) Resolva a equação homogênea associada sabendo que
.
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados apresente e justifique a forma da solução particular. Não calcule os coeficientes!
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados apresente e justifique a forma da solução particular. Não calcule os coeficientes!
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes,
Para resolver, primeiro determinamos a solução da equação homogênea associada (parte (a)), usando o polinômio característico. Depois, na parte (b), usamos o método dos coeficientes indeterminados para propor a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico de
como
Pelos dados,
. Logo as raízes são
Daí a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
, usamos coeficientes indeterminados:
- O termo constante
sugere um polinômio de grau zero, digamos . Mas como é raiz dupla, multiplicamos por . Assim a contribuição polinomial é
- O termo
sugere , mas como já é raiz simples, multiplicamos por . Logo a parte exponencial é
Portanto a forma da solução particular é
com
e
a determinar (não são calculados aqui).
Resposta
(a)
(b)
com
para o termo constante (devido à raiz dupla em
) e
para o
(devido à raiz simples em
).