Dada a e.d.o:
y^(5)+y^(2)=e^-x+5
(a) Resolva a equação homogênea associada sabendo que r^3+1=(r+1)(r^2-r+1).
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados apresente e justifique a forma da solução particular. Não calcule os coeficientes!

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes,
y^(5) + y'' = e^-x + 5
Para resolver, primeiro determinamos a solução da equação homogênea associada (parte (a)), usando o polinômio característico. Depois, na parte (b), usamos o método dos coeficientes indeterminados para propor a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de
y^(5) + y'' = 0
como
r^5 + r^2 = r^2,(r^3 + 1) = 0
Pelos dados, r^3+1=(r+1)(r^2 - r +1). Logo as raízes são
r=0(mu<iplicidade 2), r=-1, r=1pm iraiz32
Daí a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2,x + C3 e^-x + e^x/2l(C4cosl(tfracraiz3,x2r) + C5sinl(tfracraiz3,x2r)r)

Passo 3

Para a parte não homogênea e^-x+5, usamos coeficientes indeterminados:
  1. O termo constante 5 sugere um polinômio de grau zero, digamos A. Mas como r=0 é raiz dupla, multiplicamos por x^2. Assim a contribuição polinomial é
yp1 = A,x^2
  1. O termo e^-x sugere B e^-x, mas como r=-1 já é raiz simples, multiplicamos por x. Logo a parte exponencial é
yp2 = B,x,e^-x
Portanto a forma da solução particular é
yp = A,x^2 + B,x,e^-x,
com A e B a determinar (não são calculados aqui).

Resposta

(a) yh = C1 + C2,x + C3 e^-x + e^x/2l(C4cosl(tfracraiz3,x2r) + C5sinl(tfracraiz3,x2r)r)
(b) yp = A,x^2 + B,x,e^-x,
com A x^2 para o termo constante (devido à raiz dupla em r=0) e B x e^-x para o e^-x (devido à raiz simples em r=-1).

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