Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
f=y^2 i+x z j-k para fora (normal se afastando do eixo z ) do cone z= 4 raizx^2+y^2, 0 <= z <= 2
Thomas 12ed exer 16.6.26

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSfcdothat n,dS
onde f=y^2i+xzj-k e S é a superfície lateral do cone
z=4raizx^2+y^2, 0<= z<=2,
com a normal apontando para fora (distante do eixo z). Vamos usar o Teorema da Divergência sobre a região V limitada pelo cone e pelo disco de topo em z=2.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz
integral duplapartial Vfcdothat n,dS =integral triplaVnablacdotf,dV
Calculamos
nablacdotf =partial (y^2)partial x +partial (xz)partial y +partial (-1)partial z =0+0+0=0
Logo o fluxo total pelo fecho partial V (cone S mais disco em z=2) é zero.

Passo 3

Chamemos de Stopo o disco em z=2. Nesse disco, a normal externa a V é hat n=k e
fcdothat n =fz=-1
O disco tem raio r dado por
2=4raizr^2implies r=tfrac12,
portanto
integral duplaStopofcdothat n,dS =integralDr=tfrac12(-1),dS =-pil(tfrac12r)^2 =-pi4

Passo 4

Pela Divergência,
0 =integral duplaSfcdothat n,dS +integral duplaStopofcdothat n,dS ;Longrightarrow; integral duplaSfcdothat n,dS =-integral duplaStopofcdothat n,dS =pi4

Resposta

pi4

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