Considerar a e.d.o.
(x+1) y^prime prime-(x+2) y^prime+y=e^x(x+1)^2
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada sabendo que y=e^x é uma solução da equação homogênea. Use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma y2(x)=v(x) y1(x) e prove que será dada por y2(x)=-(x+2).
(b) Usando variação de parâmetros determine a solução particular da equação não homogênea.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
(x+1),y''-(x+2),y'+y=e^x(x+1)^2,
e pede: (a) a solução geral da parte homogênea sabendo que y1(x)=e^x, usando redução de ordem para achar y2(x); (b) a solução particular da equação não homogênea por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação homogênea em forma padrão dividindo por (x+1):
y''-x+2x+1,y'+1x+1,y=0
Aqui p(x)=-tfracx+2x+1. A fórmula de redução de ordem diz que, dado y1(x), uma segunda solução é
y2(x)=y1(x)integrale^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Calculamos
integral p(x),dx=-integralx+2x+1,dx=-integrall(1+1x+1r)dx=-x-ln|x+1|
Logo
e^-integral p=(x+1)e^,x,
e portanto
y2(x)=e^xintegral(x+1)e^xe^2x,dx =e^xintegral (x+1)e^-x,dx
Fazendo a integral
integral x e^-x,dx=-(x+1)e^-x, integral e^-x,dx=-e^-x,
temos
integral (x+1)e^-x,dx=-(x+1)e^-x-e^-x=-(x+2)e^-x,
logo
y2(x)=e^xcdotl[-(x+2)e^-xr]=-(x+2)

Passo 3

Assim a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^x+C2l[-(x+2)r]

Passo 4

Para a não homogênea usamos variação de parâmetros. Mantemos as mesmas , e o termo não homogêneo em forma padrão
onde . O Wronskiano é
As fórmulas são
Substituindo
Integrando
Então uma solução particular é

Resposta

A solução geral da equação completa é

Exercícios relacionados