Considerar a e.d.o.
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada sabendo que
é uma solução da equação homogênea. Use o método de redução de ordem para determinar uma segunda solução da forma
e prove que será dada por
.
(b) Usando variação de parâmetros determine a solução particular da equação não homogênea.
(b) Usando variação de parâmetros determine a solução particular da equação não homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede: (a) a solução geral da parte homogênea sabendo que
, usando redução de ordem para achar
; (b) a solução particular da equação não homogênea por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação homogênea em forma padrão dividindo por
:
Aqui
. A fórmula de redução de ordem diz que, dado
, uma segunda solução é
Calculamos
Logo
e portanto
Fazendo a integral
temos
logo
Passo 3
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para a não homogênea usamos variação de parâmetros. Mantemos as mesmas
,
e o termo não homogêneo em forma padrão
onde
. O Wronskiano é
As fórmulas são
Substituindo
Integrando
Então uma solução particular é
Resposta
A solução geral da equação completa é