Calcule a integral dupla.
integralegral duplaD 1x d A, D=(x, y) mid 1 <= y <= e, y^2 <= x <= y^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD1x,dA,
onde
D=(x,y)mid 1<= y<= e,;y^2<= x<= y^4
O conteúdo aqui é integração iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada, integrando primeiro em x e depois em y:
integral duplaD1x,dA =integraly=1^el(integralx=y^2^y^41x,dxr)dy

Passo 3

Calcular a integral interna em x. Como integral 1x,dx=ln|x|, temos
integralx=y^2^y^41x,dx =ln(y^4)-ln(y^2) =2ln(y)

Passo 4

Substituindo na integral externa, resta calcular
integral1^e2ln(y),dy
Usamos a primitiva integral ln(y),dy = yln(y)-y. Logo
integral1^e2ln(y),dy =2l[yln(y)-yr]1^e

Passo 5

Avaliação no intervalo:
2l[(eln(e)-e)-(1ln(1)-1)r] =2l[(e - e)-(0-1)r] =2cdot1 =2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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