Calcule o fluxo de através da superfície:
para fora (normal se afastando do eixo ) através do cone e
Thomas 12ed exer 16.6.27)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de f = -x,i - y,j + z^2,k através da superfície lateral do cone z=raizx^2+y^2 para 1<= z<=2, com a normal apontando para fora (ou seja, afastando-se do eixo z). Vamos usar parametrização da superfície, calcular o vetor área orientado dS e então integrar fcdot hat n,dS.

Passo 2

Parametrizamos o cone lateral por
r(theta,z) = l(zcostheta,;zsintheta,;zr),
onde 1<= z<=2 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
rtheta = partialrpartialtheta = l(-zsintheta,;zcostheta,;0r), rz = partialrpartial z = l(costheta,;sintheta,;1r)
O produto vetorial orientado (que aponta radialmente para fora) é
rtheta times rz = l(zcostheta,;zsintheta,;-zr)

Passo 4

No ponto r(theta,z) vale
f = l(-zcostheta,;-zsintheta,;z^2r)
Fazendo o produto escalar com rthetatimesrz, obtemos
fcdotl(rthetatimesrzr) = (-zcostheta)(zcostheta)+(-zsintheta)(zsintheta)+(z^2)(-z) = -z^2(cos^2theta+sin^2theta)-z^3 = -z^2 - z^3

Passo 5

O fluxo é
integral duplaS fcdot hat n,dS = integraltheta=0^2piintegralz=1^2l(-z^2 - z^3r),dz,dtheta
Calculando a integral em z:
integral1^2(-z^2 - z^3),dz = l[-tfracz^33-tfracz^44r]1^2 = -tfrac83-4 ;-;l(-tfrac13-tfrac14r) = -tfrac203 + tfrac712 = -tfrac7312
Multiplicando por integral0^2pidtheta=2pi, vem
fluxo = 2pil(-tfrac7312r) = -tfrac73pi6

Resposta

-73pi6

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