Considere a equação diferencial:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=x^4 x>0
(a) A equação homogênea associada de Euler-Cauchy. Uma das soluções é y1=x^2. Prove via redução de ordem que a segunda solução é y2=x^2 ln x.
(b) Mostre que y1=x^2 e y2=x^2 ln x são linearmente independentes calculando o Wronskiano. Por que o Wronskiano ser igual a zero em x=0 não contradiz o teorema que garante que as soluções são linearmente independentes?
(c) Dado que y1 e y2 de (a) são soluções da equação homogênea associada, utilize o método de variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação diferencial.

Passo 1

Resumindo: temos a equação de Euler–Cauchy
x^2y''-3x,y'+4y=x^4, x>0
(a) Queremos achar a segunda solução da homogênea
x^2y''-3x,y'+4y=0
sabendo que y1=x^2, usando redução de ordem.
(b) Vamos calcular o Wronskiano de y1,y2 e discutir independência linear.
(c) Por fim, aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Procuramos y2=u(x),x^2. Então
y2'=u' x^2+2u x, y2''=u''x^2+4u'x+2u
Substituindo em
x^2y''-3x,y'+4y=0
vem
x^2(u''x^2+4u'x+2u)-3x(u'x^2+2u x)+4u x^2=0 ;Longrightarrow; x^4u''+x^3u'=0
Dividindo por x^3 (em x>0) dá
x,u''+u'=0
Com w=u' obtemos
x,w'+w=0;Rightarrow;w'w=-1x ;Rightarrow;w=u'=Cx^-1
Escolhendo C=1,
u(x)=integral x^-1dx=ln x,
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y2=x^2ln x

Passo 3

O Wronskiano é
W(x)= y1&y2 y1'&y2' = x^2&x^2ln x 2x&2xln x+x =x^2(2xln x+x)-x^2ln xcdot2x =x^3
Como W(x)=x^3neq0 em (0,infty), y1,y2 são independentes aí. O fato de W(0)=0 não contradiz o teorema, pois x=0 é ponto singular (coeficientes não são contínuos em 0).

Passo 4

Para variação de parâmetros escrevemos
y''-3xy'+4x^2y=x^2,
onde g(x)=x^2 e W=x^3. A fórmula dá
yp=-y1integraly2gWdx +y2integraly1gWdx =-x^2!integral xln x,dx +x^2ln x!integral x,dx
Como
integral xln x,dx =x^22ln x-x^24, integral x,dx=x^22,
segue
yp =-x^2l(tfracx^22ln x-tfracx^24r) +x^2ln xcdottfracx^22 =x^44

Resposta

A solução particular é yp=tfracx^44.

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