(a) A equação homogênea associada de Euler-Cauchy. Uma das soluções é . Prove via redução de ordem que a segunda solução é .
(b) Mostre que e são linearmente independentes calculando o Wronskiano. Por que o Wronskiano ser igual a zero em não contradiz o teorema que garante que as soluções são linearmente independentes?
(c) Dado que e de (a) são soluções da equação homogênea associada, utilize o método de variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação diferencial.
Passo 1
Resumindo: temos a equação de Euler–Cauchy
(a) Queremos achar a segunda solução da homogênea
sabendo que , usando redução de ordem.
(b) Vamos calcular o Wronskiano de e discutir independência linear.
(c) Por fim, aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Procuramos . Então
Substituindo em
vem
Dividindo por (em ) dá
Com obtemos
Escolhendo ,
logo
Passo 3
O Wronskiano é
Como W(x)=x^3neq0 em (0,infty), y1,y2 são independentes aí. O fato de W(0)=0 não contradiz o teorema, pois x=0 é ponto singular (coeficientes não são contínuos em 0).