Resolva a seguinte equação diferencial:
(a) Qual é a equação característica da equação homogênea associada?
(b) Encontre as raízes da equação característica com multiplicidade.
(c) Encontre a solução complementar da equação homogênea associada.
(d) Encontre a forma da solução particular da equação diferencial pelo método de coeficientes indeterminados.(Não calcule as constantes.)
(e) Qual a solução geral da equação diferencial?
(b) Encontre as raízes da equação característica com multiplicidade.
(c) Encontre a solução complementar da equação homogênea associada.
(d) Encontre a forma da solução particular da equação diferencial pelo método de coeficientes indeterminados.(Não calcule as constantes.)
(e) Qual a solução geral da equação diferencial?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
Aqui
é o operador
. Vamos:
- escrever a equação característica da homogênea;
- achar suas raízes e multiplicidades;
- montar a solução complementar
; - propor a forma de
pelo método dos coeficientes indeterminados; - somar para obter a solução geral.
Passo 2
Para a homogênea associada zeramos o lado direito e substituímos
por
. A equação característica é
Passo 3
Resolvendo cada fator:
– De vem
com multiplicidade 3.
– Para fazemos fatoração por agrupamento:
.
Logo as raízes são
(multiplicidade 1) e
(cada uma de multiplicidade 1).
– De
– Para
Logo as raízes são
Passo 4
A solução complementar é soma dos modos de cada raiz:
– Para (mult.~3) usamos
.
– Para temos
.
– Para temos as partes reais
e
.
Portanto
– Para
– Para
– Para
Portanto
Passo 5
Para o particular
usamos método dos coeficientes indeterminados:
– O termo coincide com a raiz
de mult.~3, então multiplicamos por
e tomamos um polinômio de grau 2:
– O termo
– O termo
tem frequência 1, e
de mult.~1 na homogênea, então multiplicamos a forma usual por
:
Logo
sem calcular
.
Passo 6
A solução geral é
com
e
dados nos passos anteriores.
Resposta
(a) A equação característica é
.
(b) As raízes são (mult.~3),
,
,
.
(c)
(b) As raízes são
(c)
(d)
(e)