Resolva a seguinte equação diferencial:
(D-4)^3(D^3-D^2+D-1) y=5 x^2 e^4 x+8 sen x
(a) Qual é a equação característica da equação homogênea associada?
(b) Encontre as raízes da equação característica com multiplicidade.
(c) Encontre a solução complementar da equação homogênea associada.
(d) Encontre a forma da solução particular da equação diferencial pelo método de coeficientes indeterminados.(Não calcule as constantes.)
(e) Qual a solução geral da equação diferencial?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
(D-4)^3l(D^3-D^2+D-1r)y = 5x^2e^4x + 8sin x
Aqui D é o operador tfracddx. Vamos:
  1. escrever a equação característica da homogênea;
  2. achar suas raízes e multiplicidades;
  3. montar a solução complementar yc;
  4. propor a forma de yp pelo método dos coeficientes indeterminados;
  5. somar para obter a solução geral.

Passo 2

Para a homogênea associada zeramos o lado direito e substituímos D por r. A equação característica é
(r-4)^3l(r^3-r^2+r-1r)=0

Passo 3

Resolvendo cada fator:
– De (r-4)^3=0 vem r=4 com multiplicidade 3.
– Para r^3-r^2+r-1=0 fazemos fatoração por agrupamento:
r^2(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^2+1)=0.
Logo as raízes são
r=1 (multiplicidade 1) e r^2+1=0Rightarrow r=pm i (cada uma de multiplicidade 1).

Passo 4

A solução complementar é soma dos modos de cada raiz:
– Para r=4 (mult.~3) usamos e^4x,,x e^4x,,x^2e^4x.
– Para r=1 temos e^x.
– Para r=pm i temos as partes reais cos x e sin x.
Portanto
yc = C1e^4x + C2,x e^4x + C3,x^2e^4x + C4e^x + C5cos x + C6sin x

Passo 5

Para o particular yp usamos método dos coeficientes indeterminados:
– O termo 5x^2e^4x coincide com a raiz r=4 de mult.~3, então multiplicamos por x^3 e tomamos um polinômio de grau 2:
yp1 = x^3(Ax^2+Bx+C)e^4x
– O termo 8sin x tem frequência 1, e r=pm i de mult.~1 na homogênea, então multiplicamos a forma usual por x:
yp2 = xl(Dcos x + Esin xr)
Logo
yp = x^3(Ax^2+Bx+C)e^4x ;+; xl(Dcos x + Esin xr),
sem calcular A,B,C,D,E.

Passo 6

A solução geral é
y(x) = yc(x) + yp(x),
com yc e yp dados nos passos anteriores.

Resposta

(a) A equação característica é (r-4)^3(r^3-r^2+r-1)=0.
(b) As raízes são r=4 (mult.~3), r=1, r=i, r=-i.
(c)
yc=C1e^4x+C2x e^4x+C3x^2e^4x+C4e^x+C5cos x+C6sin x
(d)
yp=x^3(Ax^2+Bx+C)e^4x+xl(Dcos x+Esin xr)
(e)
y=yc+yp

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