Calcule o fluxo de f através da superfície: integral duplaS f cdot n d S
f=x^2 j-x z k para fora da superfície (normal se afastando do plano x y ) do cilindro parabólico y=x^2,-1 <= x <= 1, delimitado pelos planos z=0 e z=2
Thomas 12ed exer 16.6.20

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de f=x^2,j-x z,k através da superfície S dada pelo “cilindro” parabólico
y=x^2, -1<= x<=1, 0<= z<=2,
orientado para fora (isto é, com a normal apontando para o lado que se afasta do plano xy, ou seja, para o lado de y positivo). Vamos parametrizar essa superfície e calcular diretamente
integral duplaSfcdothat n,dS

Passo 2

Escolhemos como parâmetros (x,z) em [-1,1]times[0,2] e a parametrização
r(x,z)=l(x,;x^2,;zr)
Então
rx=(1,2x,0), rz=(0,0,1),
e o vetor normal orientado pela regra da mão direita é
rxtimesrz=(2x,-1,0)
Esse normal tem componente y negativa, mas queremos a normal apontando para y>0. Logo tomamos
hat n,dS=-l(rxtimesrzr),dx,dz =l(-2x,,1,,0r),dx,dz

Passo 3

Na parametrização,
fl(r(x,z)r) =l(0,;x^2,;-x,zr)
Portanto
fcdothat n,dS =l(0,;x^2,;-x,zr)cdotl(-2x,,1,,0r),dx,dz =x^2,dx,dz

Passo 4

O fluxo é
integral duplaSfcdothat n,dS =integralx=-1^1!integralz=0^2x^2,dz,dx =integral-1^1l[x^2zr]0^2,dx =integral-1^12x^2,dx =2cdot23 =43

Resposta

boxed43

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