Determinar a equação do plano tangente e uma equação vetorial da reta normal à superfície no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse lance de encontrar a equação do plano tangente e a equação vetorial da reta normal à superfície no ponto . Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com superfícies parametrizadas. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar os vetores tangentes e depois o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície dada pela função vetorial:
E o ponto onde queremos encontrar o plano tangente e a reta normal é .
Passo 3
Precisamos encontrar os valores de e que correspondem ao ponto . Comparando as componentes:
Substituindo e na primeira equação:
Então, os parâmetros são e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície em calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Em :
Derivada parcial em relação a :
Em :
Passo 5
Com os vetores tangentes e , podemos achar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:
Calculando:
Então:
n = (1, -2, -4)
Passo 6
Agora, usamos o vetor normal n = (1, -2, -4) e o ponto P(4, 1, 2) para montar a equação do plano tangente. A equação geral do plano é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto P .
Substituindo:
1(x - 4) - 2(y - 1) - 4(z - 2) = 0
Simplificando:
x - 4 - 2y + 2 - 4z + 8 = 0 x - 2y - 4z + 6 = 0
Passo 7
Para a reta normal, usamos o vetor normal n = (1, -2, -4) e o ponto P(4, 1, 2) . A equação vetorial da reta é: