Determinar a equação do plano tangente e uma equação vetorial da reta normal à superfície no ponto indicado.
r(u, v)=(u^2+v^2-1, u, v) ; P(4,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse lance de encontrar a equação do plano tangente e a equação vetorial da reta normal à superfície no ponto P(4, 1, 2) . Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com superfícies parametrizadas. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar os vetores tangentes e depois o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície dada pela função vetorial:
r(u, v) = (u^2 + v^2 - 1, , u, , v)
E o ponto onde queremos encontrar o plano tangente e a reta normal é P(4, 1, 2) .

Passo 3

Precisamos encontrar os valores de u e v que correspondem ao ponto P . Comparando as componentes:
u^2 + v^2 - 1 = 4 u = 1 v = 2
Substituindo u = 1 e v = 2 na primeira equação:
1^2 + 2^2 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4
Então, os parâmetros são u = 1 e v = 2 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície em P calculando as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v .
Derivada parcial em relação a u :
ru = (2u, , 1, , 0)
Em u = 1 :
ru(1, 2) = (2 cdot 1, , 1, , 0) = (2, 1, 0)
Derivada parcial em relação a v :
rv = (2v, , 0, , 1)
Em v = 2 :
rv(1, 2) = (2 cdot 2, , 0, , 1) = (4, 0, 1)

Passo 5

Com os vetores tangentes ru e rv , podemos achar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial:
n = ru times rv
Calculando:
n = i & j & k 2 & 1 & 0 4 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(2 cdot 1 - 0 cdot 4) + k(2 cdot 0 - 1 cdot 4) = i(1) - j(2) + k(-4)
Então:
n = (1, -2, -4)

Passo 6

Agora, usamos o vetor normal n = (1, -2, -4) e o ponto P(4, 1, 2) para montar a equação do plano tangente. A equação geral do plano é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto P .
Substituindo:
1(x - 4) - 2(y - 1) - 4(z - 2) = 0
Simplificando:
x - 4 - 2y + 2 - 4z + 8 = 0 x - 2y - 4z + 6 = 0

Passo 7

Para a reta normal, usamos o vetor normal n = (1, -2, -4) e o ponto P(4, 1, 2) . A equação vetorial da reta é:
r(t) = P + t cdot n
Então:
r(t) = (4, 1, 2) + t cdot (1, -2, -4) = (4 + t, , 1 - 2t, , 2 - 4t)

Resposta

A equação do plano tangente é x - 2y - 4z + 6 = 0 e a equação vetorial da reta normal é r(t) = (4 + t, , 1 - 2t, , 2 - 4t) .

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