(a) Mostre que a substituição
na e.d.o
transforma a equação em
.
(b) Resolva a equação não homogênea
via o método de coeficientes indeterminados.
(b) Resolva a equação não homogênea
Passo 1
Temos a EDO de Euler–Cauchy
e queremos usar a mudança de variável
. Para isso, precisamos reescrever
e
em termos de derivadas em relação a
.
Passo 2
Como
, temos
e
. Logo, usando regra da cadeia,
Passo 3
Agora derivamos de novo em relação a
:
Passo 4
Substituindo em
com
e simplificando, obtemos
Passo 5
Agora temos a EDO com coeficientes constantes
Passo 6
Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea associada: a equação característica é
com raiz dupla
. Assim
Passo 7
Para um particular, tentamos
. Então
e ao substituir na EDO obtemos
Passo 8
Logo o particular é
e a solução geral fica
Resposta
(a) A mudança
leva a
(b) A solução geral da EDO não homogênea é