(a) Mostre que a substituição v=ln x na e.d.o x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=x transforma a equação em d^2 yd v^2-4 d yd v+4 y=e^v.
(b) Resolva a equação não homogênea d^2 yd v^2-4 d yd v+4 y=e^v via o método de coeficientes indeterminados.

Passo 1

Temos a EDO de Euler–Cauchy x^2y''-3xy'+4y=x e queremos usar a mudança de variável v=ln x. Para isso, precisamos reescrever y' e y'' em termos de derivadas em relação a v.

Passo 2

Como v=ln x, temos x=e^v e dvdx=1x=e^-v. Logo, usando regra da cadeia,
y'=dydx=dy/dvdx/dv=yv,e^-v,

Passo 3

Agora derivamos de novo em relação a x:
y''=ddx(yve^-v)=ddv(yve^-v)dvdx=(yvve^-v-yve^-v)e^-v=yvve^-2v-yve^-2v

Passo 4

Substituindo em x^2y''-3x y'+4y=x com x=e^v e simplificando, obtemos
e^2v(yvve^-2v-yve^-2v)-3e^v(yve^-v)+4y=(yvv-yv)-3yv+4y=yvv-4yv+4y=e^v

Passo 5

Agora temos a EDO com coeficientes constantes
yvv-4yv+4y=e^v

Passo 6

Para resolver, primeiro achamos a solução geral da homogênea associada: a equação característica é
r^2-4r+4=(r-2)^2=0,
com raiz dupla r=2. Assim
yh=(C1+C2v)e^2v

Passo 7

Para um particular, tentamos yp=Ae^v. Então
yp'=Ae^v, yp''=Ae^v,
e ao substituir na EDO obtemos
Ae^v-4Ae^v+4Ae^v=Ae^v=e^vimplies A=1

Passo 8

Logo o particular é yp=e^v e a solução geral fica
y(v)=(C1+C2v)e^2v+e^v

Resposta

(a) A mudança v=ln x leva a
d^2ydv^2-4dydv+4y=e^v
(b) A solução geral da EDO não homogênea é
y(v)=(C1+C2v)e^2v+e^v

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