(a) Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
d yd x=2 y-x2 x-y,
(b) Considere a equação
d yd x=2 y-x+52 x-y-4
Fazendo a substituição x=X-h e y=Y-k encontre h e k de tal forma que a equação seja homogênea.

Passo 1

O exercício trata de equações diferenciais de primeira ordem: no item (a) precisamos mostrar que a ODE é homogênea e resolvê-la por separação de variáveis após usar a substituição clássica y=vx; no item (b) queremos deslocar os eixos com x=X-h,;y=Y-k de modo a eliminar termos constantes e obter uma ODE homogênea.

Passo 2

Para mostrar que dfracdydx=dfrac2y - x2x - y é homogênea, verificamos que o quociente é de grau zero: substituindo (x,y)to(lambda x,lambda y) temos
2(lambda y)-lambda x2(lambda x)-lambda y =lambda(2y-x)lambda(2x-y) =2y-x2x-y
Então a ODE é homogênea.

Passo 3

Fazendo y=vx implica tfracdydx=v+xtfracdvdx. Substituindo em
v + xdvdx=2(vx)-x2x-(vx)=2v-12-v
isolamos dv/dx e obtemos uma equação separável:
dvdx= rac(2v-1)-(v(2-v))(2-v)1x =v^2-1(2-v)x=(v-1)(v+1)(2-v)x

Passo 4

Agora separamos variáveis:
2-v(v-1)(v+1),dv=dxx
Fazendo frações parciais:
2-v(v-1)(v+1)=1/2v-1-3/2v+1,
integrando ambos os lados:
tfrac12ln|v-1|-tfrac32ln|v+1|=ln|x|+C
Multiplicando por 2 e exponenciando, chega-se a
v-1(v+1)^3=C,x^2

Passo 5

Voltando a v=y/x, obtemos a solução implícita em x,y:
y/x-1(y/x+1)^3=C,x^2 Longrightarrow y-x(y+x)^3=C

Passo 6

No item (b) fazemos o deslocamento
x=X-h, y=Y-k
para que
dydx=dYdX e a ODE vire 2(Y-k)-(X-h)+52(X-h)-(Y-k)-4 =2Y-X+(h-2k+5)2X-Y+(-2h+k-4)

Passo 7

Para ficar homogênea, os termos constantes no numerador e denominador devem ser zero. Isso dá o sistema
h-2k+5=0, -2h+k-4=0,
cuja solução é
h=-1, k=2

Resposta

(a) A solução geral é
y-x(y+x)^3=C
(b) Os valores que tornam a equação homogênea são
h=-1, k=2

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