(a) Mostre que a equação abaixo é homogênea e resolva-a.
(b) Considere a equação
Fazendo a substituição
e
encontre
e
de tal forma que a equação seja homogênea.
Passo 1
O exercício trata de equações diferenciais de primeira ordem: no item (a) precisamos mostrar que a ODE é homogênea e resolvê-la por separação de variáveis após usar a substituição clássica
; no item (b) queremos deslocar os eixos com
de modo a eliminar termos constantes e obter uma ODE homogênea.
Passo 2
Para mostrar que
é homogênea, verificamos que o quociente é de grau zero: substituindo
temos
Então a ODE é homogênea.
Passo 3
Fazendo
implica
. Substituindo em
isolamos
e obtemos uma equação separável:
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Fazendo frações parciais:
integrando ambos os lados:
Multiplicando por 2 e exponenciando, chega-se a
Passo 5
Voltando a
, obtemos a solução implícita em
:
Passo 6
No item (b) fazemos o deslocamento
para que
Passo 7
Para ficar homogênea, os termos constantes no numerador e denominador devem ser zero. Isso dá o sistema
cuja solução é
Resposta
(a) A solução geral é
(b) Os valores que tornam a equação homogênea são