Calcule o fluxo de
através da superfície limitada abaixo pelo plano
, lateralmente pelo cilindro
e acima pelo hemisfério
. Faça um esboço da região.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada limitada abaixo pelo plano
, lateralmente pelo cilindro
e acima pelo hemisfério de equação
. Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) para transformar o fluxo em um volume integral de
.
Passo 2
Calculemos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência:
Em coordenadas cilíndricas temos
,
e
. Assim
Passo 4
Integramos em
e depois em
:
Passo 5
Logo o fluxo é
Quanto ao esboço, imagine um cilindro de raio 1 apoiado no plano
, e acima dele um hemisfério de raio 1 centrado em
. A região está dentro desse cilindro, acima do plano e abaixo da casca hemisférica.
Resposta
5\pi