Calcule o fluxo de x y através da superfície limitada abaixo pelo plano x^2+y^2=1, lateralmente pelo cilindro z=1+raiz1-x^2-y^2 e acima pelo hemisfério . Faça um esboço da região.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F=(2x+sin z),vec i+(xz-y),vec j+(e^x+2z),vec k através da superfície fechada limitada abaixo pelo plano z=0, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1 e acima pelo hemisfério de equação z=1+raiz1-x^2-y^2. Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) para transformar o fluxo em um volume integral de nablacdotvec F.

Passo 2

Calculemos a divergência de vec F:
nablacdotvec F=partialpartial x(2x+sin z)+partialpartial y(xz-y)+partialpartial z(e^x+2z)=2-1+2=3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência:
Phi=integral duplapartial Vvec Fcdot dvec S=integral triplaV(nablacdotvec F),dV=3cdotVol(V)
Em coordenadas cilíndricas temos
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi e 0<= z<=1+raiz1-r^2. Assim
Vol(V)=integral0^2pi! integral0^1! integral0^1+raiz1-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos em z e depois em r:
Vol(V)=2piintegral0^1rl(1+raiz1-r^2r)dr =2pil[tfrac12+tfrac13r]=2picdot56=5pi3

Passo 5

Logo o fluxo é
Phi=3times5pi3=5pi
Quanto ao esboço, imagine um cilindro de raio 1 apoiado no plano z=0, e acima dele um hemisfério de raio 1 centrado em (0,0,1). A região está dentro desse cilindro, acima do plano e abaixo da casca hemisférica.

Resposta

5\pi

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