Frações parciais
integral xx^2-4 d x

Passo 1

A questão pede para calcular integralxx^2-4,dx usando frações parciais. É um problema de integração de função racional, e vamos precisar decompor o integrando em termos simples do tipo A/(x-2)+B/(x+2).

Passo 2

Escrevemos
xx^2-4=x(x-2)(x+2)=Ax-2+Bx+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2), obtemos
x=A(x+2)+B(x-2)= (A+B)x + (2A-2B)

Passo 4

Comparando coeficientes de x e termo independente:
A+B=1, 2A-2B=0longrightarrow A=B

Passo 5

Daí 2A=1 e A=B=tfrac12.

Passo 6

Substituindo na decomposição, temos
xx^2-4=12cdot1x-2+12cdot1x+2

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
integralxx^2-4,dx=12integral1x-2,dx+12integral1x+2,dx

Passo 8

Cada integral é um logaritmo:
integral1x-2,dx=ln|x-2|, integral1x+2,dx=ln|x+2|

Passo 9

Portanto, reunindo tudo, obtemos a antiderivada da função.

Resposta

12ln|x-2|+12ln|x+2|+C

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