Frações parciais
integral d xx^3-x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dxx^3 - x^2 - 2x. O conteúdo principal é frações parciais, e para resolver a gente vai precisar fatorar o denominador e depois decompor a função racional em somas de frações simples.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador x^3 - x^2 - 2x. A gente tira x em evidência e fatora o quadrático restante:
x^3 - x^2 - 2x = x,(x^2 - x - 2)
Como x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1), o denominador fica x(x-2)(x+1).

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever
1x(x-2)(x+1) = Ax + Bx-2 + Cx+1
Isso nos permite integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Para encontrar A,B,C, multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+1) e igualamos:
A(x-2)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-2) = 1
Usamos valores convenientes de x para achar as constantes.

Passo 5

Substituindo:
  • Se x=0: A,(0-2)(0+1)=-2A=1 A=-tfrac12.
  • Se x=2: B,2(2+1)=6B=1 B=tfrac16.
  • Se x=-1: C,(-1)(-1-2)=3C=1 C=tfrac13.

Passo 6

Com os coeficientes em mãos, reescrevemos a integral como soma de três integrais:
integral dxx^3 - x^2 - 2x = integral l(-tfrac121x + tfrac161x-2 + tfrac131x+1r)dx

Passo 7

Finalmente, integramos cada termo usando integraldxx-a=ln|x-a|+C:
  • integral -tfrac12dxx = -tfrac12ln|x|
  • integral tfrac16dxx-2 = tfrac16ln|x-2|
  • integral tfrac13dxx+1 = tfrac13ln|x+1|
    Somando tudo e acrescentando a constante geral C.

Resposta

-tfrac12ln|x| + tfrac16ln|x-2| + tfrac13ln|x+1| + C

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