Frações parciais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo principal é frações parciais, e para resolver a gente vai precisar fatorar o denominador e depois decompor a função racional em somas de frações simples.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador
. A gente tira
em evidência e fatora o quadrático restante:
Como
, o denominador fica
.
Passo 3
Agora montamos a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever
Isso nos permite integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
e igualamos:
Usamos valores convenientes de
para achar as constantes.
Passo 5
Substituindo:
- Se
: ⇒ . - Se
: ⇒ . - Se
: ⇒ .
Passo 6
Com os coeficientes em mãos, reescrevemos a integral como soma de três integrais:
Passo 7
Finalmente, integramos cada termo usando
:
-
-
-
Somando tudo e acrescentando a constante geral.