Calcule o fluxo de
através da superfície
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.(2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada de um sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de
pela superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, calculamos o divergente de
:
Passo 3
Usando coordenadas cilíndricas:
,
,
, com
,
, e para cada
,
vai de 0 até
. O elemento de volume é
.
Passo 4
Montamos a integral:
Passo 5
Integramos em
:
logo a integral vira
Passo 6
Expandindo e separando em duas integrais (uma sem
e outra com
), vemos que a parte com
é ímpar em
e se anula no intervalo
. Restando
Passo 7
Calculamos separadamente:
Passo 8
Multiplicando tudo: