Calcule o fluxo de F(x, y, z)=x^3 i-x^2 z^2 j+4 y^2 z k através da superfície S, onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=y+3 e z=0.(2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=x^3,hat i - x^2z^2,hat j +4y^2z,hat k através da superfície fechada de um sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=y+3. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de vec F pela superfície fechada é igual à integral tripla do divergente de vec F sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, calculamos o divergente de vec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(x^3)+partialpartial y(-x^2z^2)+partialpartial z(4y^2z) =3x^2+0+4y^2=3x^2+4y^2

Passo 3

Usando coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, com rin[0,1], thetain[0,2pi], e para cada (r,theta), z vai de 0 até z=y+3=rsintheta+3. O elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 4

Montamos a integral:
Phi=integral triplaV(3x^2+4y^2),dV=integral0^2piintegral0^1integral0^3+rsinthetal(3r^2cos^2theta+4r^2sin^2thetar)r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos em z:
integral0^3+rsinthetadz =3+rsintheta,
logo a integral vira
integral0^2piintegral0^1r^3(3+rsintheta)(3cos^2theta+4sin^2theta),dr,dtheta

Passo 6

Expandindo e separando em duas integrais (uma sem sintheta e outra com sintheta), vemos que a parte com sintheta é ímpar em theta e se anula no intervalo [0,2pi]. Restando
Phi=integral0^2pil(3cos^2theta+4sin^2thetar),dthetatimesintegral0^13r^3,dr

Passo 7

Calculamos separadamente:
integral0^13r^3,dr=tfrac34, integral0^2pi(3cos^2theta+4sin^2theta),dtheta=3pi+4pi=7pi

Passo 8

Multiplicando tudo:
Phi=tfrac34times7pi=21pi4

Resposta

21pi4

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