Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por x^2+y^2 <= 9 no plano z=0 e pelo parabolóide z=9-x^2-y^2 (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de um sólido com densidade constante. O sólido é limitado pela circunferência x^2 + y^2 <= 9 no plano z = 0 e pelo parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. A base está no plano z = 0 e é um círculo de raio 3 (já que raiz9 = 3 ). O topo do sólido é dado pelo parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 , que também tem forma de paraboloide invertido.
Como a densidade é constante, podemos considerar a densidade rho = 1 para facilitar os cálculos. Assim, a massa será igual ao volume do sólido.

Passo 3

Para calcular o volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta , y = rsintheta e z = z . Nesse sistema, o elemento de volume dV vira r , dr , dtheta , dz .
Os limites de integração são:
  • r varia de 0 a 3 (raio da base).
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa).
  • Para cada r , z varia de 0 até 9 - r^2 (parabolóide).

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla para o volume:
V = integral0^2pi integral0^3 integral0^9 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em z :
integral0^9 - r^2 dz = 9 - r^2

Passo 5

Agora, substituímos essa integral e continuamos com a integração em r :
V = integral0^2pi integral0^3 r(9 - r^2) , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em r :
integral0^3 9r - r^3 , dr = [ 92r^2 - 14r^4 ]0^3 = ( 92(9) - 14(81) ) = 812 - 814 = 814

Passo 6

Agora, integramos em theta :
V = integral0^2pi 814 , dtheta = 814 times 2pi = 812 pi
Então, a massa M é igual a 812 pi .

Passo 7

Para encontrar o centro de massa, vamos usar as fórmulas:
barx = 1M integral x , dV, bary = 1M integral y , dV, barz = 1M integral z , dV
Devido à simetria circular do sólido em relação aos eixos x e y , sabemos que barx = 0 e bary = 0 .
Focaremos em barz :
barz = 1M integral z , dV

Passo 8

Usando coordenadas cilíndricas novamente, a integral fica:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^9 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em z :
integral0^9 - r^2 z , dz = 12z^2 |0^9 - r^2 = 12(9 - r^2)^2

Passo 9

Substituindo na integral:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^3 12(9 - r^2)^2 r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em r :
12 integral0^3 (81 - 18r^2 + r^4) r , dr = 12 integral0^3 (81r - 18r^3 + r^5) , dr
= 12 [ 812r^2 - 184r^4 + 16r^6 ]0^3
= 12 ( 812(9) - 184(81) + 16(729) )
= 12 ( 7292 - 14584 + 7296 )
= 12 ( 7292 - 7292 + 7296 )
= 12 ( 7296 ) = 72912 = 2434

Passo 10

Agora, integramos em theta :
integral z , dV = integral0^2pi 2434 , dtheta = 2434 times 2pi = 2432 pi
Então,
barz = 1M times 2432 pi = 2432 pi812 pi = 24381 = 3

Resposta

A massa do sólido é 812 pi e o centro de massa está no ponto (0, 0, 3) .

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