Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por no plano e pelo parabolóide (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a massa e o centro de massa de um sólido com densidade constante. O sólido é limitado pela circunferência no plano e pelo parabolóide . Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A base está no plano e é um círculo de raio 3 (já que ). O topo do sólido é dado pelo parabolóide , que também tem forma de paraboloide invertido.
Como a densidade é constante, podemos considerar a densidade para facilitar os cálculos. Assim, a massa será igual ao volume do sólido.
Passo 3
Para calcular o volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nesse sistema, o elemento de volume vira .
Os limites de integração são:
varia de 0 a 3 (raio da base).
varia de 0 a (uma volta completa).
Para cada , varia de 0 até (parabolóide).
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla para o volume:
Primeiro, integramos em :
Passo 5
Agora, substituímos essa integral e continuamos com a integração em :
Vamos resolver a integral em :
Passo 6
Agora, integramos em :
Então, a massa é igual a .
Passo 7
Para encontrar o centro de massa, vamos usar as fórmulas:
Devido à simetria circular do sólido em relação aos eixos e , sabemos que e .
Focaremos em :
Passo 8
Usando coordenadas cilíndricas novamente, a integral fica:
Primeiro, integramos em :
Passo 9
Substituindo na integral:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^3 12(9 - r^2)^2 r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral em r :
12 integral0^3 (81 - 18r^2 + r^4) r , dr = 12 integral0^3 (81r - 18r^3 + r^5) , dr
= 12 [ 812r^2 - 184r^4 + 16r^6 ]0^3
= 12 ( 812(9) - 184(81) + 16(729) )
= 12 ( 7292 - 14584 + 7296 )
= 12 ( 7292 - 7292 + 7296 )
= 12 ( 7296 ) = 72912 = 2434
Passo 10
Agora, integramos em theta :
integral z , dV = integral0^2pi 2434 , dtheta = 2434 times 2pi = 2432 pi
Então,
barz = 1M times 2432 pi = 2432 pi812 pi = 24381 = 3
Resposta
A massa do sólido é 812 pi e o centro de massa está no ponto (0, 0, 3) .