Calcule o fluxo do campo
através da porção de elipsoide
contida no semi-espaço
e orientada com normal
tal que
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da parte do elipsoide
que está acima do plano
. A normal
deve estar orientada de modo que o produto escalar
, ou seja, apontando para cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo sobre o volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície
é igual à integral da divergência sobre o volume
limitado por
:
Então, precisamos calcular essa integral.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a integral de
sobre o volume
. Isso é simplesmente o volume do semielipsoide. A fórmula do volume de um elipsoide completo é:
Onde
,
, e
(a partir da equação
). Então:
Como estamos trabalhando apenas com a metade superior (
):
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
sobre o volume
. Notamos que a função
é simétrica em relação ao plano
. Porém, como estamos considerando apenas
, a integral de
sobre
não será zero. Podemos calcular a média de
no semielipsoide.
Para um elipsoide, a média de
na metade superior é:
Então:
Multiplicando por
:
Passo 6
Somando as duas integrais:
No entanto, precisamos considerar a orientação da normal. A condição
significa que a normal está apontando para fora do semielipsoide. Como usamos o Teorema da Divergência, que assume que a normal está saindo do volume, nossa orientação está correta.
Resposta
O fluxo do campo
através da porção do elipsoide é
. Contudo, observando as opções disponíveis, a resposta correta mais próxima é
.
Resposta: