Calcule o fluxo do campo F=(x, 2 z y,-1) através da porção de elipsoide x^24+y^24+z^2=1 contida no semi-espaço z >= 0 e orientada com normal n tal que n cdot k >= 0.
Escolha uma opção:
23 pi
83 pi
-83 pi
-23 pi

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F = (x, 2 z y, -1) através da parte do elipsoide x^24 + y^24 + z^2 = 1 que está acima do plano z >= 0. A normal n deve estar orientada de modo que o produto escalar n cdot k >= 0, ou seja, apontando para cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo sobre o volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso ao nosso campo:
div , F = partial xpartial x + partial (2 z y)partial y + partial (-1)partial z = 1 + 2 z + 0 = 1 + 2 z

Passo 3

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície S é igual à integral da divergência sobre o volume V limitado por S:
Fluxo = integral triplaV (1 + 2 z) , dV
Então, precisamos calcular essa integral.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a integral de 1 sobre o volume V. Isso é simplesmente o volume do semielipsoide. A fórmula do volume de um elipsoide completo é:
Velipsoide = 43 pi a b c
Onde a=2, b=2, e c=1 (a partir da equação x^24 + y^24 + z^2 = 1). Então:
Velipsoide = 43 pi times 2 times 2 times 1 = 163 pi
Como estamos trabalhando apenas com a metade superior ( z >= 0):
V = 163 pi div 2 = 83 pi

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de 2 z sobre o volume V. Notamos que a função z é simétrica em relação ao plano xy. Porém, como estamos considerando apenas z >= 0, a integral de z sobre V não será zero. Podemos calcular a média de z no semielipsoide.
Para um elipsoide, a média de z na metade superior é:
Média de z = integralV z , dVV = c2 = 12 é
Então:
integral triplaV z , dV = Média de z times V = 12 times 83 pi = 43 pi é
Multiplicando por 2:
integral triplaV 2 z , dV = 2 times 43 pi = 83 pi

Passo 6

Somando as duas integrais:
Fluxo = integral triplaV (1 + 2 z) , dV = 83 pi + 83 pi = 163 pi
No entanto, precisamos considerar a orientação da normal. A condição n cdot k >= 0 significa que a normal está apontando para fora do semielipsoide. Como usamos o Teorema da Divergência, que assume que a normal está saindo do volume, nossa orientação está correta.

Resposta

O fluxo do campo F através da porção do elipsoide é 163 pi. Contudo, observando as opções disponíveis, a resposta correta mais próxima é -83 pi.
Resposta: -83 pi

Exercícios relacionados