Esboçar o gráfico das funções, indicando o domínio e a imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
, além de indicar o domínio e a imagem dela. Esse tipo de função pertence ao estudo das funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio, imagem e como as funções exponenciais se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na função exponencial
, não há restrições para os valores de
– você pode substituir qualquer número real nele. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Como 5 é uma base positiva diferente de 1,
sempre será maior que zero, independente do valor de
. Portanto, a imagem é:
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos chave no gráfico para ajudar no esboço:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Além disso, sabemos que para funções exponenciais com base maior que 1, a curva cresce rapidamente à medida que
aumenta e se aproxima de zero à medida que
diminui, mas nunca toca o eixo
.
Passo 5
Com esses pontos e o comportamento geral da função exponencial, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico passa pelo ponto
. - Aumenta rapidamente passando por
. - Diminui, mas se aproxima de zero, passando por
. - A curva nunca toca o eixo
, que é uma assíntota horizontal.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva crescente que passa pelos pontos
,
e
. O domínio da função é todos os números reais
e a imagem é
. A curva se aproxima do eixo
mas nunca o toca, representando uma assíntota horizontal em
.