Determine se r(t) possui parametrização lisa, isto é, se r^prime(t) é contínua e neq 0.
  1. r(t)=t^3 i+(3 t^2-2 t) j+t^2 k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a parametrização
r(t)=t^3,i+(3t^2-2t),j+t^2,k
é lisa, isto é, se a derivada r'(t) é contínua em todo domínio e nunca é o vetor zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Como cada componente de r(t) é um polinômio em t, temos
r'(t) =ddtl(t^3,,3t^2-2t,,t^2r) =(3t^2,,6t-2,,2t)

Passo 3

Cada função 3t^2, 6t-2 e 2t é polinomial, logo contínua em todo R. Portanto r'(t) é contínua em todo R.

Passo 4

Para ver se r'(t)neq0 em todo lugar, resolvemos o sistema
3t^2=0, 6t-2=0, 2t=0
Da primeira e da terceira igualdades vem t=0. Mas para t=0 a segunda componente vale 6cdot0-2=-2neq0. Se tentássemos 6t-2=0 obteríamos t=tfrac13, mas isso não anula nem a primeira nem a terceira componente. Concluímos que não existe valor de t que anule simultaneamente as três componentes de r'(t).

Resposta

A parametrização é lisa, pois r'(t) é contínua em todo R e nunca é igual ao vetor zero.

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