Determine se
possui parametrização lisa, isto é, se
é contínua
.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a parametrização
é lisa, isto é, se a derivada é contínua em todo domínio e nunca é o vetor zero.
é lisa, isto é, se a derivada
Passo 2
Vamos calcular a derivada componente a componente. Como cada componente de
é um polinômio em
, temos
Passo 3
Cada função
,
e
é polinomial, logo contínua em todo
. Portanto
é contínua em todo
.
Passo 4
Para ver se
em todo lugar, resolvemos o sistema
Da primeira e da terceira igualdades vem
. Mas para
a segunda componente vale
. Se tentássemos
obteríamos
, mas isso não anula nem a primeira nem a terceira componente. Concluímos que não existe valor de
que anule simultaneamente as três componentes de
.
Resposta
A parametrização é lisa, pois
é contínua em todo
e nunca é igual ao vetor zero.