Utilizando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
, onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sendo
a fronteira da região
entre os círculos
e
, orientada positivamente. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Assim o integrando de Green é
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Em coordenadas polares
,
, temos
e
. A região
corresponde a
,
. O integrando fica
e com o jacobiano
obtemos
Passo 4
Separemos a integral em três termos:
O termo com
se anula porque
. Logo sobra
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Multiplicando por
resulta