Utilizando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
ointgamma(x y-y^33) d x+(x+x^33+y) d y, onde gamma é a fronteira da região Omega entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointgammal(xy - y^33r),dx + l(x + x^33 + yr),dy
sendo gamma a fronteira da região Omega entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, orientada positivamente. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre Omega.

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = xy - y^33, Q(x,y) = x + x^33 + y
Calculamos
partial Qpartial x = 1 + x^2, partial Ppartial y = x - y^2
Assim o integrando de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = l(1 + x^2r) - l(x - y^2r) = 1 - x + x^2 + y^2

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointgammaP,dx + Q,dy = integral duplaOmegal(1 - x + x^2 + y^2r),dA
Em coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta, temos x^2+y^2 = r^2 e dA = r,dr,dtheta. A região Omega corresponde a 1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi. O integrando fica
1 - rcostheta + r^2
e com o jacobiano r obtemos
integral duplaOmega(1 - x + x^2 + y^2),dA = integral0^2pi!!integral1^2l(1 - rcostheta + r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Separemos a integral em três termos:
integral0^2pi!!integral1^2r,dr,dtheta - integral0^2pi!!integral1^2r^2costheta,dr,dtheta + integral0^2pi!!integral1^2r^3,dr,dtheta
O termo com costheta se anula porque
integral0^2picostheta,dtheta=0. Logo sobra
integral0^2pi!!integral1^2l(r + r^3r),dr,dtheta = 2piintegral1^2l(r + r^3r),dr

Passo 5

Calculamos a integral em r:
integral1^2 l(r + r^3r),dr = [r^22 + r^44]1^2 = l(2 + 4r) - l(tfrac12 + tfrac14r) = 6 - tfrac34 = tfrac214
Multiplicando por 2pi resulta
2pi cdot 214 = 21pi2

Resposta

21pi2

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