Calcule as Integrais abaixo
integralpi / 4^3 pi / 4 x cotg x cosec x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de x cdot cot(x) cdot csc(x) no intervalo de pi4 até 3pi4 . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes e manipulação de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como usar a integração por partes e as identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cot(x) cdot csc(x) . Sabemos que:
cot(x) = cos(x)sin(x) e csc(x) = 1sin(x)
Multiplicando essas duas, temos:
cot(x) cdot csc(x) = cos(x)sin^2(x)
Então, a integral fica:
integralpi4^3pi4 x cdot cos(x)sin^2(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(x)sin^2(x) , dx Rightarrow v = -csc(x)
(Antes de avançar, calculamos a integral de dv para encontrar v .)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot cos(x)sin^2(x) , dx = -x cdot csc(x) + integral csc(x) , dx
Agora, precisamos integrar csc(x) .

Passo 5

A integral de csc(x) é conhecida:
integral csc(x) , dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C
Então, substituindo de volta:
- x cdot csc(x) - ln|csc(x) + cot(x)| + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de pi4 a 3pi4 :
[ -x cdot csc(x) - ln|csc(x) + cot(x)| ]pi4^3pi4
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Calculando em x = 3pi4 :
csc(3pi4) = raiz2, cot(3pi4) = -1
Então:
- 3pi4 cdot raiz2 - ln|raiz2 - 1|

Passo 8

Calculando em x = pi4 :
csc(pi4) = raiz2, cot(pi4) = 1
Então:
- pi4 cdot raiz2 - ln|raiz2 + 1|

Passo 9

Subtraindo os valores:
( - 3pi4 cdot raiz2 - ln(raiz2 - 1) ) - ( - pi4 cdot raiz2 - ln(raiz2 + 1) )
Isso simplifica para:
- 2pi4 cdot raiz2 + ln(raiz2 + 1raiz2 - 1) = - pi raiz22 + ln(3 + 2raiz2)

Resposta

A integral vale:
- pi raiz22 + ln(3 + 2raiz2)

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