Calcule as Integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes e manipulação de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como usar a integração por partes e as identidades trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que:
Multiplicando essas duas, temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
Vamos escolher:
(Antes de avançar, calculamos a integral de
para encontrar
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos integrar
.
Passo 5
A integral de
é conhecida:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 7
Calculando em
:
Então:
Passo 8
Calculando em
:
Então:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Isso simplifica para:
Resposta
A integral vale: